E024. Breadth-first search

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 82.

Breadth-first search (обход в ширину, breadth-first search) — это один из основных Algoritmoов на grafoах. В результате поиска в ширину находится путь кратчайшей длины в невзвешененном grafoе, т.е. путь, содержащий наименьшее number рёбер.

Algoritmo работает за

, где

— number вершин,

— number рёбер.

Описание Algoritmoа

На Input Algoritmoа подаётся заданный grafo (невзвешенный), и номер стартовой вершины

. grafo может быть

как ориентированным, так и неориентированным, для Algoritmoа это не важно. Сам Algoritmo можно понимать как процесс "поджигания" grafoа: на нулевом шаге поджигаем только вершину

. На

каждом следующем шаге огонь с каждой уже горящей вершины перекидывается на всех её соседей; т.е. за одну итерацию Algoritmoа происходит расширение "кольца огня" в ширину на единицу (отсюда и название Algoritmoа). Более строго это можно представить следующим образом. Создадим очередь

, в которую будут помещаться

горящие вершины, а также заведём булевский array

, в котором для каждой вершины будем отмечать, горит

она уже или нет (или иными словами, была ли она посещена).

Изначально в очередь помещается только vertex

, и

, а для всех остальных

вершин

. Затем Algoritmo представляет собой цикл: пока очередь не пуста, достать из её головы одну вершину, просмотреть все рёбра, исходящие из этой вершины, и если какие-то из просмотренных вершин ещё не горят, то поджечь их и поместить в конец очереди. В итоге, когда очередь опустеет, обход в ширину обойдёт все достижимые из

вершины, причём до каждой

дойдёт кратчайшим путём. Также можно посчитать длины кратчайших путей (для чего просто надо завести array

длин путей

), и компактно сохранить информацию, достаточную для восстановления всех этих кратчайших путей

(для этого надо завести array "предков"

, в котором для каждой вершины хранить номер вершины, по которой мы попали в эту вершину).

Implementazione

Реализуем вышеописанный Algoritmo на языке C++. Inputные данные:

vector < vector<int> > g; // grafo

int n; // number вершин

int s; // стартовая vertex (вершины везде нумеруются с нуля)

// чтение grafoа

... Сам обход:

queue<int> q;

q.push (s);

vector<bool> used (n);

vector<int> d (n), p (n);

used[s] = true;

p[s] = -1;

while (!q.empty()) {

int v = q.front();

q.pop();

for (size_t i=0; i<g[v].size(); ++i) {

int to = g[v][i];

if (!used[to]) {

used[to] = true;

q.push (to);

d[to] = d[v] + 1;

p[to] = v;

} } } Если теперь надо восстановить и вывести percorso minimo до какой-то вершины

, это можно сделать

следующим образом:

if (!used[to])

cout << "No path!";

else {

vector<int> path;

for (int v=to; v!=-1; v=p[v])

path.push_back (v);

reverse (path.begin(), path.end());

cout << "Path: ";

for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)

cout << path[i] + 1 << " ";

}

Приложения Algoritmoа

● Поиск кратчайшего пути в невзвешенном grafoе.

● Connected components в grafoе за

. Для этого мы просто запускаем обход в ширину от каждой вершины, за исключением вершин, оставшихся

посещёнными (

) после предыдущих запусков. Таким образом, мы выполняем обычный запуск в ширину

от каждой вершины, но не обнуляем каждый раз array

, за счёт чего мы каждый раз будем обходить

новую компоненту связности, а суммарное Tempo di esecuzione Algoritmoа составит по-прежнему

(такие

несколько запусков обхода на grafoе без обнуления arrayа

называются серией обходов в ширину).

● Нахождения решения какой-либо задачи (игры) с наименьшим numberм ходов, если каждое

состояние системы можно представить вершиной grafoа, а переходы из одного состояния в другое — рёбрами grafoа. Классический Esempio — игра, где робот двигается по полю, при этом он может передвигать ящики, находящиеся на этом же поле, и it is required за наименьшее number ходов передвинуть ящики в требуемые позиции. Решается это обходом в ширину по grafoу, где состоянием (вершиной) является набор координат: координаты робота, и координаты всех коробок.

● Нахождение кратчайшего пути в 0-1-grafoе (т.е. grafoе взвешенном, но с весами равными только 0 либо 1):

достаточно немного модифицировать Breadth-first search: если текущее edge нулевого веса, и происходит улучшение расстояния до какой-то вершины, то эту вершину добавляем не в конец, а в начало очереди.

● Нахождение кратчайшего цикла в неориентированном невзвешенном grafoе: производим Breadth-first search

из каждой вершины; как только в процессе обхода мы пытаемся пойти из текущей вершины по какому-то ребру в уже посещённую вершину, то это означает, что мы нашли кратчайший цикл, и останавливаем обход в ширину; среди всех таких найденных циклов (по одному от каждого запуска обхода) выбираем кратчайший.

● find все рёбра, лежащие на каком-либо кратчайшем пути между заданной парой вершин

.

Для этого надо запустить 2 поиска в ширину: из

, и из

. Обозначим через

array кратчайших

расстояний, полученный в результате первого обхода, а через

— в результате второго обхода. Теперь для

любого ребра

легко проверить, лежит ли он на каком-либо кратчайшем пути: критерием будет

Testo

.

● find все вершины, лежащие на каком-либо кратчайшем пути между заданной парой вершин

.

Для этого надо запустить 2 поиска в ширину: из

, и из

. Обозначим через

array кратчайших

расстояний, полученный в результате первого обхода, а через

— в результате второго обхода. Теперь для

любой вершины

легко проверить, лежит ли он на каком-либо кратчайшем пути: критерием будет

Testo

.

● find кратчайший чётный путь в grafoе (т.е. путь чётной длины). Для этого надо построить

вспомогательный grafo, vertexми которого будут состояния

, где

— номер текущей вершины,

— текущая чётность. Любое edge

исходного grafoа в этом новом grafoе превратится в два

ребра

и

. После этого на этом grafoе надо обходом в ширину find percorso minimo из стартовой вершины в конечную, с чётностью, равной 0.

Задачи в online judges

Список задач, которые можно сдать, используя обход в ширину:

● SGU #213 "Strong Defence" [Complexity: средняя]