E024. Поиск в ширину

Task

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 82.

Поиск в ширину (обход в ширину, breadth-first search) — это один из основных алгоритмов на графах. В результате поиска в ширину находится путь кратчайшей длины в невзвешененном графе, т.е. путь, содержащий наименьшее число рёбер.

Алгоритм работает за

, где

— число вершин,

— число рёбер.

Описание алгоритма

На вход алгоритма подаётся заданный граф (невзвешенный), и номер стартовой вершины

. Граф может быть

как ориентированным, так и неориентированным, для алгоритма это не важно. Сам алгоритм можно понимать как процесс "поджигания" графа: на нулевом шаге поджигаем только вершину

. На

каждом следующем шаге огонь с каждой уже горящей вершины перекидывается на всех её соседей; т.е. за одну итерацию алгоритма происходит расширение "кольца огня" в ширину на единицу (отсюда и название алгоритма). Более строго это можно представить следующим образом. Создадим очередь

, в которую будут помещаться

горящие вершины, а также заведём булевский массив

, в котором для каждой вершины будем отмечать, горит

она уже или нет (или иными словами, была ли она посещена).

Изначально в очередь помещается только вершина

, и

, а для всех остальных

вершин

. Затем алгоритм представляет собой цикл: пока очередь не пуста, достать из её головы одну вершину, просмотреть все рёбра, исходящие из этой вершины, и если какие-то из просмотренных вершин ещё не горят, то поджечь их и поместить в конец очереди. В итоге, когда очередь опустеет, обход в ширину обойдёт все достижимые из

вершины, причём до каждой

дойдёт кратчайшим путём. Также можно посчитать длины кратчайших путей (для чего просто надо завести массив

длин путей

), и компактно сохранить информацию, достаточную для восстановления всех этих кратчайших путей

(для этого надо завести массив "предков"

, в котором для каждой вершины хранить номер вершины, по которой мы попали в эту вершину).

Реализация

Реализуем вышеописанный алгоритм на языке C++. Входные данные:

vector < vector<int> > g; // граф

int n; // число вершин

int s; // стартовая вершина (вершины везде нумеруются с нуля)

// чтение графа

... Сам обход:

queue<int> q;

q.push (s);

vector<bool> used (n);

vector<int> d (n), p (n);

used[s] = true;

p[s] = -1;

while (!q.empty()) {

int v = q.front();

q.pop();

for (size_t i=0; i<g[v].size(); ++i) {

int to = g[v][i];

if (!used[to]) {

used[to] = true;

q.push (to);

d[to] = d[v] + 1;

p[to] = v;

} } } Если теперь надо восстановить и вывести кратчайший путь до какой-то вершины

, это можно сделать

следующим образом:

if (!used[to])

cout << "No path!";

else {

vector<int> path;

for (int v=to; v!=-1; v=p[v])

path.push_back (v);

reverse (path.begin(), path.end());

cout << "Path: ";

for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)

cout << path[i] + 1 << " ";

}

Приложения алгоритма

● Поиск кратчайшего пути в невзвешенном графе.

● Поиск компонент связности в графе за

. Для этого мы просто запускаем обход в ширину от каждой вершины, за исключением вершин, оставшихся

посещёнными (

) после предыдущих запусков. Таким образом, мы выполняем обычный запуск в ширину

от каждой вершины, но не обнуляем каждый раз массив

, за счёт чего мы каждый раз будем обходить

новую компоненту связности, а суммарное время работы алгоритма составит по-прежнему

(такие

несколько запусков обхода на графе без обнуления массива

называются серией обходов в ширину).

● Нахождения решения какой-либо задачи (игры) с наименьшим числом ходов, если каждое

состояние системы можно представить вершиной графа, а переходы из одного состояния в другое — рёбрами графа. Классический пример — игра, где робот двигается по полю, при этом он может передвигать ящики, находящиеся на этом же поле, и требуется за наименьшее число ходов передвинуть ящики в требуемые позиции. Решается это обходом в ширину по графу, где состоянием (вершиной) является набор координат: координаты робота, и координаты всех коробок.

● Нахождение кратчайшего пути в 0-1-графе (т.е. графе взвешенном, но с весами равными только 0 либо 1):

достаточно немного модифицировать поиск в ширину: если текущее ребро нулевого веса, и происходит улучшение расстояния до какой-то вершины, то эту вершину добавляем не в конец, а в начало очереди.

● Нахождение кратчайшего цикла в неориентированном невзвешенном графе: производим поиск в ширину

из каждой вершины; как только в процессе обхода мы пытаемся пойти из текущей вершины по какому-то ребру в уже посещённую вершину, то это означает, что мы нашли кратчайший цикл, и останавливаем обход в ширину; среди всех таких найденных циклов (по одному от каждого запуска обхода) выбираем кратчайший.

● Найти все рёбра, лежащие на каком-либо кратчайшем пути между заданной парой вершин

.

Для этого надо запустить 2 поиска в ширину: из

, и из

. Обозначим через

массив кратчайших

расстояний, полученный в результате первого обхода, а через

— в результате второго обхода. Теперь для

любого ребра

легко проверить, лежит ли он на каком-либо кратчайшем пути: критерием будет

условие

.

● Найти все вершины, лежащие на каком-либо кратчайшем пути между заданной парой вершин

.

Для этого надо запустить 2 поиска в ширину: из

, и из

. Обозначим через

массив кратчайших

расстояний, полученный в результате первого обхода, а через

— в результате второго обхода. Теперь для

любой вершины

легко проверить, лежит ли он на каком-либо кратчайшем пути: критерием будет

условие

.

● Найти кратчайший чётный путь в графе (т.е. путь чётной длины). Для этого надо построить

вспомогательный граф, вершинами которого будут состояния

, где

— номер текущей вершины,

— текущая чётность. Любое ребро

исходного графа в этом новом графе превратится в два

ребра

и

. После этого на этом графе надо обходом в ширину найти кратчайший путь из стартовой вершины в конечную, с чётностью, равной 0.

Задачи в online judges

Список задач, которые можно сдать, используя обход в ширину:

● SGU #213 "Strong Defence" [сложность: средняя]