E081. Нахождение площади простого многоугольника

emaxx algorithm

#algorithm#emaxx#geometry#math

Task

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 236.

Пусть дан простой многоугольник (т.е. без самопересечений, но не обязательно выпуклый), заданный координатами своих вершин в порядке обхода по или против часовой стрелки. Требуется найти его площадь.

Способ 1

Это легко сделать, если перебрать все рёбра и сложить площади трапеций, ограниченных каждым ребром. Площадь нужно брать с тем знаком, с каким она получится (именно благодаря знаку вся "лишняя" площадь сократится). Т.е. формула такова:

S += (X2 - X1) * (Y1 + Y2) / 2

Код:

double sq (const vector<point> & fig)

{

double res = 0;

for (unsigned i=0; i<fig.size(); i++)

{

point

p1 = i ? fig[i-1] : fig.back(),

p2 = fig[i];

res += (p1.x - p2.x) * (p1.y + p2.y);

}

return fabs (res) / 2;

}

Способ 2

Можно поступить другим образом. Выберем произвольно точку O, переберём все рёбра, прибавляя к ответу ориентированную площадь треугольника, образованного ребром и точкой O (см. Ориентированная площадь треугольника). Опять же, благодаря знаку, вся лишняя площадь сократится, и останется только ответ. Этот способ хорош тем, что его проще обобщить на более сложные случаи (например, когда некоторые стороны - не прямые, а дуги окружности).

C# solution

auto-draft, review before submit

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

public static class AlgorithmDraft
{
    // Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    S += (X2 - X1) * (Y1 + Y2) / 2
    double sq (const vector<point> & fig)
    {
            double res = 0;
            for (unsigned i=0; i<fig.size(); i++)
            {
                    point
                            p1 = i ? fig[i-1] : fig.back(),
                            p2 = fig[i];
                    res += (p1.x - p2.x) * (p1.y + p2.y);
            }
            return fabs (res) / 2;
    }
}

C++ solution

matched/original

S += (X2 - X1) * (Y1 + Y2) / 2
double sq (const vector<point> & fig)
{
        double res = 0;
        for (unsigned i=0; i<fig.size(); i++)
        {
                point
                        p1 = i ? fig[i-1] : fig.back(),
                        p2 = fig[i];
                res += (p1.x - p2.x) * (p1.y + p2.y);
        }
        return fabs (res) / 2;
}

Java solution

auto-draft, review before submit

import java.util.*;
import java.math.*;

public class AlgorithmDraft {
    // Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    S += (X2 - X1) * (Y1 + Y2) / 2
    double sq (const vector<point> & fig)
    {
            double res = 0;
            for (unsigned i=0; i<fig.size(); i++)
            {
                    point
                            p1 = i ? fig[i-1] : fig.back(),
                            p2 = fig[i];
                    res += (p1.x - p2.x) * (p1.y + p2.y);
            }
            return fabs (res) / 2;
    }
}

Explanation

Материал разбит как алгоритмическая задача: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать алгоритм на выбранном языке.