E087. Построение выпуклой оболочки обходом Грэхэма

e-maxx algorithm original: C/C++ #algorithm #emaxx #geometry #math

선택한 UI 언어에 맞게 문제 텍스트를 러시아어에서 번역합니다. 코드는 변경하지 않습니다.

Static

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 249.

given N точек на плоскости. Построить их выпуклую оболочку, т.е. наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все эти точки. Мы рассмотрим метод Грэхэма (Graham) (предложен в 1972 г.) с улучшениями Эндрю (Andrew) (1979 г.). С его помощью можно построить выпуклую оболочку за время O (N log N) с использованием только операций сравнения, сложения и умножения. 알고리즘 является асимптотически оптимальным (доказано, что не существует 알고리즘а с лучшей асимптотикой), хотя в некоторых 문제х он неприемлем (в случае параллельной обработки или при online-обработке).

Описание

알고리즘. Найдём самую левую и самую правую точки A и B (если таких точек несколько, то возьмём самую нижнюю среди левых, и самую верхнюю среди правых). Понятно, что и A, и B обязательно попадут в выпуклую оболочку. Далее, проведём через них прямую AB, разделив множество всех точек на верхнее и нижнее подмножества S1 и S2 (точки, лежащие на прямой, можно отнести к любому множеству - они всё равно не войдут в оболочку). Точки A и B отнесём к обоим множествам. Теперь построим для S1 верхнюю оболочку, а для S2 - нижнюю оболочку, и объединим их, получив ответ. Чтобы получить, скажем, верхнюю оболочку, нужно отсортировать все точки по абсциссе, затем пройтись по всем точкам, рассматривая на каждом шаге кроме самой точки две предыдущие точки, вошедшие в оболочку. Если текущая тройка точек образует не правый поворот (что легко проверить с помощью Ориентированной площади), то ближайшего соседа нужно удалить из оболочки. В конце концов, останутся только точки, 입력ящие в выпуклую оболочку. Итак, 알고리즘 заключается в сортировке всех точек по абсциссе и двух (в худшем случае) обходах всех точек, т. е. требуемая Asymptotic complexity O (N log N) достигнута.

구현

struct pt {

double x, y;

};

bool cmp (pt a, pt b) {

return a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y;

}

bool cw (pt a, pt b, pt c) {

return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) < 0;

}

bool ccw (pt a, pt b, pt c) {

return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) > 0;

}

void convex_hull (vector<pt> & a) {

if (a.size() == 1)  return;

sort (a.begin(), a.end(), &cmp);

pt p1 = a[0], p2 = a.back();

vector<pt> up, down;

up.push_back (p1);

down.push_back (p1);

for (size_t i=1; i<a.size(); ++i) {

if (i==a.size()-1 || cw (p1, a[i], p2)) {

while (up.size()>=2 && !cw (up[up.size()-2], up[up.

size()-1], a[i]))

up.pop_back();

up.push_back (a[i]);

}

if (i==a.size()-1 || ccw (p1, a[i], p2)) {

while (down.size()>=2 && !ccw (down[down.size()-2],

down[down.size()-1], a[i]))

down.pop_back();

down.push_back (a[i]);

} }

a.clear();

for (size_t i=0; i<up.size(); ++i)

a.push_back (up[i]);

for (size_t i=down.size()-2; i>0; --i)

a.push_back (down[i]);

}

C# 해법

자동 초안, 제출 전 검토

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

public static class AlgorithmDraft
{
    // Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    struct pt {
            double x, y;
    };
    bool cmp (pt a, pt b) {
            return a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y;
    }
    bool cw (pt a, pt b, pt c) {
            return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) < 0;
    }
    bool ccw (pt a, pt b, pt c) {
            return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) > 0;
    }
    void convex_hull (vector<pt> & a) {
            if (a.size() == 1)  return;
            sort (a.begin(), a.end(), &cmp);
            pt p1 = a[0],  p2 = a.back();
            vector<pt> up, down;
            up.push_back (p1);
            down.push_back (p1);
            for (size_t i=1; i<a.size(); ++i) {
                    if (i==a.size()-1 || cw (p1, a[i], p2)) {
                            while (up.size()>=2 && !cw (up[up.size()-2], up[up.
    size()-1], a[i]))
                                    up.pop_back();
                            up.push_back (a[i]);
                    }
                    if (i==a.size()-1 || ccw (p1, a[i], p2)) {
                            while (down.size()>=2 && !ccw (down[down.size()-2],
    down[down.size()-1], a[i]))
                                    down.pop_back();
                            down.push_back (a[i]);
                    }
            }
            a.clear();
            for (size_t i=0; i<up.size(); ++i)
                    a.push_back (up[i]);
            for (size_t i=down.size()-2; i>0; --i)
                    a.push_back (down[i]);
    }
}

C++ 해법

매칭됨/원본

struct pt {
        double x, y;
};
bool cmp (pt a, pt b) {
        return a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y;
}
bool cw (pt a, pt b, pt c) {
        return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) < 0;
}
bool ccw (pt a, pt b, pt c) {
        return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) > 0;
}
void convex_hull (vector<pt> & a) {
        if (a.size() == 1)  return;
        sort (a.begin(), a.end(), &cmp);
        pt p1 = a[0],  p2 = a.back();
        vector<pt> up, down;
        up.push_back (p1);
        down.push_back (p1);
        for (size_t i=1; i<a.size(); ++i) {
                if (i==a.size()-1 || cw (p1, a[i], p2)) {
                        while (up.size()>=2 && !cw (up[up.size()-2], up[up.
size()-1], a[i]))
                                up.pop_back();
                        up.push_back (a[i]);
                }
                if (i==a.size()-1 || ccw (p1, a[i], p2)) {
                        while (down.size()>=2 && !ccw (down[down.size()-2],
down[down.size()-1], a[i]))
                                down.pop_back();
                        down.push_back (a[i]);
                }
        }
        a.clear();
        for (size_t i=0; i<up.size(); ++i)
                a.push_back (up[i]);
        for (size_t i=down.size()-2; i>0; --i)
                a.push_back (down[i]);
}

Java 해법

자동 초안, 제출 전 검토

import java.util.*;
import java.math.*;

public class AlgorithmDraft {
    // Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    struct pt {
            double x, y;
    };
    boolean cmp (pt a, pt b) {
            return a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y;
    }
    boolean cw (pt a, pt b, pt c) {
            return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) < 0;
    }
    boolean ccw (pt a, pt b, pt c) {
            return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) > 0;
    }
    void convex_hull (vector<pt> & a) {
            if (a.size() == 1)  return;
            sort (a.begin(), a.end(), &cmp);
            pt p1 = a[0],  p2 = a.back();
            vector<pt> up, down;
            up.push_back (p1);
            down.push_back (p1);
            for (size_t i=1; i<a.size(); ++i) {
                    if (i==a.size()-1 || cw (p1, a[i], p2)) {
                            while (up.size()>=2 && !cw (up[up.size()-2], up[up.
    size()-1], a[i]))
                                    up.pop_back();
                            up.push_back (a[i]);
                    }
                    if (i==a.size()-1 || ccw (p1, a[i], p2)) {
                            while (down.size()>=2 && !ccw (down[down.size()-2],
    down[down.size()-1], a[i]))
                                    down.pop_back();
                            down.push_back (a[i]);
                    }
            }
            a.clear();
            for (size_t i=0; i<up.size(); ++i)
                    a.push_back (up[i]);
            for (size_t i=down.size()-2; i>0; --i)
                    a.push_back (down[i]);
    }
}

Материал разбит как 알고리즘ическая 문제: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать 알고리즘 на выбранном языке.

Vacancies for this task

활성 채용 with overlapping task tags are 표시됨.

전체 채용

아직 활성 채용이 없습니다.