E087. Построение выпуклой оболочки обходом Грэхэма

e-maxx algorithm original: C/C++ #algorithm #emaxx #geometry #math

Le texte du problème est traduit du russe pour la langue sélectionnée. Le code reste inchangé.

Static

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 249.

given N точек на плоскости. Построить их выпуклую оболочку, т.е. наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все эти точки. Мы рассмотрим метод Грэхэма (Graham) (предложен в 1972 г.) с улучшениями Эндрю (Andrew) (1979 г.). С его помощью можно построить выпуклую оболочку за время O (N log N) с использованием только операций сравнения, сложения и умножения. Algorithme является асимптотически оптимальным (доказано, что не существует Algorithmeа с лучшей асимптотикой), хотя в некоторых Problèmeх он неприемлем (в случае параллельной обработки или при online-обработке).

Описание

Algorithme. Найдём самую левую и самую правую точки A и B (если таких точек несколько, то возьмём самую нижнюю среди левых, и самую верхнюю среди правых). Понятно, что и A, и B обязательно попадут в выпуклую оболочку. Далее, проведём через них прямую AB, разделив множество всех точек на верхнее и нижнее подмножества S1 и S2 (точки, лежащие на прямой, можно отнести к любому множеству - они всё равно не войдут в оболочку). Точки A и B отнесём к обоим множествам. Теперь построим для S1 верхнюю оболочку, а для S2 - нижнюю оболочку, и объединим их, получив ответ. Чтобы получить, скажем, верхнюю оболочку, нужно отсортировать все точки по абсциссе, затем пройтись по всем точкам, рассматривая на каждом шаге кроме самой точки две предыдущие точки, вошедшие в оболочку. Если текущая тройка точек образует не правый поворот (что легко проверить с помощью Ориентированной площади), то ближайшего соседа нужно удалить из оболочки. В конце концов, останутся только точки, Entréeящие в выпуклую оболочку. Итак, Algorithme заключается в сортировке всех точек по абсциссе и двух (в худшем случае) обходах всех точек, т. е. требуемая Asymptotic complexity O (N log N) достигнута.

Implémentation

struct pt {

double x, y;

};

bool cmp (pt a, pt b) {

return a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y;

}

bool cw (pt a, pt b, pt c) {

return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) < 0;

}

bool ccw (pt a, pt b, pt c) {

return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) > 0;

}

void convex_hull (vector<pt> & a) {

if (a.size() == 1)  return;

sort (a.begin(), a.end(), &cmp);

pt p1 = a[0], p2 = a.back();

vector<pt> up, down;

up.push_back (p1);

down.push_back (p1);

for (size_t i=1; i<a.size(); ++i) {

if (i==a.size()-1 || cw (p1, a[i], p2)) {

while (up.size()>=2 && !cw (up[up.size()-2], up[up.

size()-1], a[i]))

up.pop_back();

up.push_back (a[i]);

}

if (i==a.size()-1 || ccw (p1, a[i], p2)) {

while (down.size()>=2 && !ccw (down[down.size()-2],

down[down.size()-1], a[i]))

down.pop_back();

down.push_back (a[i]);

} }

a.clear();

for (size_t i=0; i<up.size(); ++i)

a.push_back (up[i]);

for (size_t i=down.size()-2; i>0; --i)

a.push_back (down[i]);

}

C# solution

brouillon automatique, à relire avant soumission

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

public static class AlgorithmDraft
{
    // Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    struct pt {
            double x, y;
    };
    bool cmp (pt a, pt b) {
            return a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y;
    }
    bool cw (pt a, pt b, pt c) {
            return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) < 0;
    }
    bool ccw (pt a, pt b, pt c) {
            return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) > 0;
    }
    void convex_hull (vector<pt> & a) {
            if (a.size() == 1)  return;
            sort (a.begin(), a.end(), &cmp);
            pt p1 = a[0],  p2 = a.back();
            vector<pt> up, down;
            up.push_back (p1);
            down.push_back (p1);
            for (size_t i=1; i<a.size(); ++i) {
                    if (i==a.size()-1 || cw (p1, a[i], p2)) {
                            while (up.size()>=2 && !cw (up[up.size()-2], up[up.
    size()-1], a[i]))
                                    up.pop_back();
                            up.push_back (a[i]);
                    }
                    if (i==a.size()-1 || ccw (p1, a[i], p2)) {
                            while (down.size()>=2 && !ccw (down[down.size()-2],
    down[down.size()-1], a[i]))
                                    down.pop_back();
                            down.push_back (a[i]);
                    }
            }
            a.clear();
            for (size_t i=0; i<up.size(); ++i)
                    a.push_back (up[i]);
            for (size_t i=down.size()-2; i>0; --i)
                    a.push_back (down[i]);
    }
}

C++ solution

correspondant/original

struct pt {
        double x, y;
};
bool cmp (pt a, pt b) {
        return a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y;
}
bool cw (pt a, pt b, pt c) {
        return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) < 0;
}
bool ccw (pt a, pt b, pt c) {
        return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) > 0;
}
void convex_hull (vector<pt> & a) {
        if (a.size() == 1)  return;
        sort (a.begin(), a.end(), &cmp);
        pt p1 = a[0],  p2 = a.back();
        vector<pt> up, down;
        up.push_back (p1);
        down.push_back (p1);
        for (size_t i=1; i<a.size(); ++i) {
                if (i==a.size()-1 || cw (p1, a[i], p2)) {
                        while (up.size()>=2 && !cw (up[up.size()-2], up[up.
size()-1], a[i]))
                                up.pop_back();
                        up.push_back (a[i]);
                }
                if (i==a.size()-1 || ccw (p1, a[i], p2)) {
                        while (down.size()>=2 && !ccw (down[down.size()-2],
down[down.size()-1], a[i]))
                                down.pop_back();
                        down.push_back (a[i]);
                }
        }
        a.clear();
        for (size_t i=0; i<up.size(); ++i)
                a.push_back (up[i]);
        for (size_t i=down.size()-2; i>0; --i)
                a.push_back (down[i]);
}

Java solution

brouillon automatique, à relire avant soumission

import java.util.*;
import java.math.*;

public class AlgorithmDraft {
    // Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    struct pt {
            double x, y;
    };
    boolean cmp (pt a, pt b) {
            return a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y;
    }
    boolean cw (pt a, pt b, pt c) {
            return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) < 0;
    }
    boolean ccw (pt a, pt b, pt c) {
            return a.x*(b.y-c.y)+b.x*(c.y-a.y)+c.x*(a.y-b.y) > 0;
    }
    void convex_hull (vector<pt> & a) {
            if (a.size() == 1)  return;
            sort (a.begin(), a.end(), &cmp);
            pt p1 = a[0],  p2 = a.back();
            vector<pt> up, down;
            up.push_back (p1);
            down.push_back (p1);
            for (size_t i=1; i<a.size(); ++i) {
                    if (i==a.size()-1 || cw (p1, a[i], p2)) {
                            while (up.size()>=2 && !cw (up[up.size()-2], up[up.
    size()-1], a[i]))
                                    up.pop_back();
                            up.push_back (a[i]);
                    }
                    if (i==a.size()-1 || ccw (p1, a[i], p2)) {
                            while (down.size()>=2 && !ccw (down[down.size()-2],
    down[down.size()-1], a[i]))
                                    down.pop_back();
                            down.push_back (a[i]);
                    }
            }
            a.clear();
            for (size_t i=0; i<up.size(); ++i)
                    a.push_back (up[i]);
            for (size_t i=down.size()-2; i>0; --i)
                    a.push_back (down[i]);
    }
}

Материал разбит как Algorithmeическая Problème: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать Algorithme на выбранном языке.

Vacancies for this task

offres actives with overlapping task tags are affichés.

Toutes les offres

Il n'y a pas encore d'offres actives.