E069. Построение 图а с указанными величинами вершинной и рёберной связностей и наименьшей из степеней вершин

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 207.

given величины

,

,

— это, соответственно, вершинная связность, рёберная связность и наименьшая из степеней вершин 图а. it is required построить 图, который бы обладал указанными значениями, или сказать, что такого 图а не существует.

Соотношение Уитни

Соотношение Уитни (Whitney) (1932 г.) между рёберной связностью

, вершинной связностью

и наименьшей из степеней вершин

: Докажем это утверждение. Докажем сначала первое неравенство:

. Рассмотрим этот набор из

рёбер, делающих 图 несвязным. Если

мы возьмём от каждого из этих ребёр по одному концу (любому из двух) и удалим из 图а, то тем самым с помощью удалённых вершин (поскольку одна и та же vertex могла встретиться дважды) мы сделаем 图 несвязным.

Таким образом,

. Докажем второе неравенство: . Рассмотрим вершину минимальной степени, тогда мы можем удалить все смежных с ней рёбер и тем самым отделить эту вершину от всего остального 图а. Следовательно, . Интересно, что неравенство Уитни нельзя улучшить: т.е. для любых троек чисел, удовлетворяющих этому неравенству, существует хотя бы один соответствующий 图. Это мы докажем конструктивно, показав, как строятся соответствующие 图ы.

解法

Проверим, удовлетворяют ли данные числа

,

и

соотношению Уитни. Если нет, то ответа не существует.

В противном случае, построим сам 图. Он будет состоять из

вершин, причём первые

вершины образуют полносвязный под图, и вторые

вершины также образуют полносвязный под图. Кроме

того, соединим эти две части

рёбрами так, чтобы в первой части эти рёбра были смежны

vertexм, а в другой

части —

vertexм. Легко убедиться в том, что полученный 图 будет обладать необходимыми характеристиками.