E093. Нахождение всех граней, внешней грани планарного グラフа
Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 264.
Дан планарный, уложенный на плоскости グラフ
с
vertexми. it is required find все его грани. Гранью
называется часть плоскости, ограниченная рёбрами этого グラフа. Одна из граней будет отличаться от остальных тем, что будет иметь бесконечную площадь, такая грань называется внешней гранью. В некоторых 問題х it is required находить только внешнюю грань, アルゴリズム нахождения которой, как мы увидим, по сути ничем не отличается от アルゴリズムа для всех граней.
Теорема Эйлера
Приведём здесь теорему Эйлера и несколько следствий из неё, из которых будет следовать, что number рёбер и граней планарного простого (без петель и кратных рёбер) グラフа являются величинами порядка .
Пусть планарный グラフ
является связным. Обозначим через
number вершин в グラフе,
— number рёбер,
—
number граней. Тогда справедлива теорема Эйлера:
Доказать эту формулу легко следующим образом. В случае дерева (
) формула легко проверяется. Если グラフ — не 木, то удалим любое edge, принадлежащее какому-либо циклу; при этом величина
не изменится. Будем повторять этот процесс, пока не придём к дереву, для которого тождество
уже установлено. Таким образом, теорема доказана.
Следствие. Для произвольного планарного グラフа пусть
— количество компонент связности. Тогда выполняется:
Следствие. number рёбер
простого планарного グラフа является величиной
.
証明. Пусть グラフ
является связным и
(в случае
утверждение получаем
автоматически). Тогда, с одной стороны, каждая грань ограничена как минимум тремя рёбрами. С другой стороны,
каждое edge ограничивает максимум две грани. Следовательно,
, откуда, подставляя это в формулу
Эйлера, получаем: Т.е. . Если グラフ не является связным, то, суммируя полученные оценки по его компонентам связности, снова
получаем
, что и требовалось доказать.
Следствие. number граней
простого планарного グラフа является величиной
.
Это следствие вытекает из предыдущего следствия и связи
.
Обход всех граней
Всегда будем считать, что グラフ, если он не является связным, уложен на плоскости таким образом, что никакая компонента связности не лежит внутри другой (на例, квадрат с лежащим строго внутри него отрезком — некорректный для нашего アルゴリズムа тест). Разумеется, считается, что グラフ корректно уложен на плоскости, т.е. никакие две вершины не совпадают, а рёбра не пересекаются в "несанкционированных" точках. Если во 入力ном グラフе допускаются такие пересекающиеся рёбра, то предварительно надо избавиться от них, вводя в каждую точку пересечения дополнительную вершину (надо
заметить, что в результате этого процесса вместо
точек мы можем получить порядка
точек). Более подробно
об этом процессе см. ниже в соответствующем разделе. Пусть для каждой вершины все исходящие из неё рёбра упорядочены по полярному углу. Если это не так, то их следует упорядочить, произведя сортировку каждого списка смежности (т.к.
, на это
поit is required
операций).
Теперь выберем произвольное edge
и пустим следующий обход. Приходя в какую-то вершину
по
некоторому ребру, 出力ить из этой вершины мы обязательно должны по следующему в порядке сортировки ребру.
На例, на первом шаге мы находимся в вершине
, и должны find вершину
в списке смежности вершины
,
тогда обозначим через
следующую вершину в списке смежности (если
была последней, то в качестве
возьмём первую вершину), и пройдём по ребру
. Повторяя этот процесс много раз, мы рано или поздно придём обратно к стартовому ребру
, после чего
надо остановиться. Нетрудно заметить, что при таком обходе мы обойдём ровно одну грань. Причём направление обхода будет против часовой стрелки для внешней грани, и по часовой стрелке — для внутренних граней. Иными словами, при таком обходе внутренность грани будет всегда по правую сторону от текущего ребра. Итак, мы научились обходить одну грань, стартуя с любого ребра на её границе. Осталось научиться выбирать стартовые рёбра таким образом, чтобы получаемые грани не повторялись. Заметим, что у каждого ребра различаются два направления, в которых его можно обходить: при каждом из них будут получаться свои грани. С другой стороны, ясно, что одно такое ориентированное edge принадлежит ровно одной грани. Таким образом, если мы будет помечать
все рёбра каждой обнаруженной грани в некотором 配列е
, и не запускать обход из уже помеченных рёбер, то
мы обойдём все грани (включая внешнюю), притом ровно по одному разу. Приведём сразу реализацию этого обхода. Будем считать, что в グラフе
списки смежности уже упорядочены
по углу, а кратные рёбра и петли отсутствуют. Первый вариант реализации упрощённый, следующую вершину в списке смежности он ищет простым поиском.
Такая 実装 теоретически работает за
, хотя на практике на многих тестах она работает весьма быстро
(со скрытой константой, значительно меньшей единицы).
int n; // number вершинvector < vector<int> > g; // グラフ
vector < vector<char> > used (n);
for (int i=0; i<n; ++i)used[i].resize (g[i].size());
for (int i=0; i<n; ++i)for (size_t j=0; j<g[i].size(); ++j)if (!used[i][j]) {used[i][j] = true;
int v = g[i][j], pv = i;vector<int> facet;
for (;;) {facet.push_back (v);
vector<int>::iterator it = find (g[v].begin(),
g[v].end(), pv);
if (++it == g[v].end()) it = g[v].begin();if (used[v][it-g[v].begin()]) break;used[v][it-g[v].begin()] = true;
pv = v, v = *it;
} ... вывод facet - текущей грани ... } Другой, более оптимизированный вариант реализации — пользуется тем, что вершине в списке смежности
упорядочены по углу. Если реализовать функцию
сравнения двух точек по полярному углу
относительно третьей точки (на例, оформив её в виде класса, как в 例е ниже), то при поиске точки в списке смежности можно воспользоваться бинарным поиском. В результате получаем реализацию за .
class cmp_ang {
int center;public:
cmp_ang (int center) : center(center)
{ }
bool operator() (int a, int b) const {
... должна возвращать true, если точка a имеет
меньший чем b полярный угол относительно center ... } };
int n; // number вершинvector < vector<int> > g; // グラフ
vector < vector<char> > used (n);
for (int i=0; i<n; ++i)used[i].resize (g[i].size());
for (int i=0; i<n; ++i)for (size_t j=0; j<g[i].size(); ++j)if (!used[i][j]) {used[i][j] = true;
int v = g[i][j], pv = i;vector<int> facet;
for (;;) {facet.push_back (v);
vector<int>::iterator it = lower_bound (g
[v].begin(), g[v].end(),
pv, cmp_ang(v));
if (++it == g[v].end()) it = g[v].begin();if (used[v][it-g[v].begin()]) break;used[v][it-g[v].begin()] = true;
pv = v, v = *it;
} ... вывод facet - текущей грани ... }
Возможен и вариант, основанный на контейнере
, ведь нам нужно всего лишь быстро узнавать позиции чисел
в 配列е. Разумеется, такая 実装 также будет работать
. Следует отметить, что アルゴリズム не совсем корректно работает с изолированными vertexми — такие вершины он просто не обнаружит как отдельные грани, хотя, с математической точки зрения, они должны представлять собой отдельные компоненты связности и грани. Кроме того, особой гранью является внешняя грань. Как её отличать от "обычных" граней, описано в следующем разделе. Следует заметить, что если グラフ является не связным, то внешняя грань будет состоять из нескольких контуров, и каждый из этих контуров будет найден アルゴリズムом отдельно.
Выделение внешней грани
Приведённый выше код выводит все грани, не делая различия между внешней гранью и внутренними гранями. На практике обычно, наоборот, it is required find или только внешнюю грань, или только внутренние. Есть несколько приёмов выделения внешней грани. На例, её можно определять по площади — внешняя грань должна иметь наибольшую площадь (следует только учесть, что внутренняя грань может иметь ту же площадь, что и внешняя). Этот способ не будет работать,
если данный планарный グラフ
не является связным. Другой, более надёжный критерий — по направлению обхода. Как уже отмечалось выше, все грани, кроме внешней, обходятся в направлении по часовой стрелки. Внешняя грань, даже если она состоит из нескольких контуров, обойдётся アルゴリズムом против часовой стрелки. Определить направление обхода можно, просто посчитав знаковую площадь многоугольника. Площадь можно считать прямо по ходу внутреннего цикла. Однако и у этого метода есть своя тонкость — обработка граней нулевой площади. На例, если グラフ состоит из единственного ребра, то アルゴリズム найдёт единственную грань, площадь которой будет нулевой. По-видимому, если грань имеет нулевую площадь, то она является внешней гранью. В некоторых случаях бывает применим и такой критерий, как количество вершин. На例, если グラフ представляет собой выпуклый многоугольник с проведёнными в нём непересекающимися диагоналями, то его внешняя грань будет содержать все вершины. Но снова надо быть аккуратным со случаем, когда и внешняя, и внутренняя грани имеют одинаковое number вершин. Наконец есть и следующий метод нахождения внешней грани: можно специально запуститься от такого ребра, что найденная в результате грань будет внешней. На例, можно взять самую левую вершину (если таких несколько, то подойдёт любая) и выбрать из неё edge, идущее первым в порядке сортировки. В результате обход из этого ребра найдёт внешнюю грань. Этот способ можно распространить и на случай несвязного グラフа: нужно в каждой компоненте связности find самую левую вершину и запускать обход из первого ребра из неё. Приведём реализацию самого простого метода, основанного на знаке площади (сам обход я для 例а взял за , здесь это неважно). Если グラフ не связный, то код "... грань является внешней ..." выполнится отдельно для каждого контура, составляющего внешнюю грань. ... обычный код по обнаружению граней ...
... сразу после цикла, обнаруживающего
очередную грань: ...
// считаем площадь
double area = 0;
// добавляем фиктивную точку для простоты
подсчёта площади
facet.push_back (facet[0]);
for (size_t k=0; k+1<facet.size(); ++k)area += (p[facet[k]].first + p[facet[k
+1]].first)
* (p[facet[k]].second - p[facet[k
+1]].second);
if (area < EPS)... грань является внешней ... }
Построение планарного グラフа
Для вышеописанных アルゴリズムов существенно то, что 入力ной グラフ является корректно уложенным планарным グラフом. Однако на практике часто на 入力 программе подаётся набор отрезков, возможно, пересекающихся между собой в "несанкционированных" точках, и нужно по этим отрезкам построить планарный グラフ. Реализовать построение планарного グラフа можно следующим образом. Зафиксируем какой-либо 入力ной отрезок. Теперь пересечём этот отрезок со всеми остальными отрезками. Найденные точки пересечения, а также концы самого отрезка положим в вектор, и его отсортируем стандартным образом (т.е. сначала по одной координате, при равенстве — по другой). Потом пройдёмся по этому вектору и будет добавлять рёбра между соседними в этом векторе точками (разумеется, следя, чтобы мы не добавили петли). Выполнив этот процесс для всех отрезков, т.е.
за
, мы построим соответствующий планарный グラフ (в котором будет
точек). 実装:
const double EPS = 1E-9;
struct point {
double x, y;
bool operator< (const point & p) const {
return x < p.x - EPS || abs (x - p.x) < EPS && y < p.y - EPS;} };
map<point,int> ids;
vector<point> p;
vector < vector<int> > g;
int get_point_id (point pt) {if (!ids.count(pt)) {ids[pt] = (int)p.size();
p.push_back (pt);
g.resize (g.size() + 1);
}
return ids[p];}
void intersect (pair<point,point> a, pair<point,point> b, vector<point> & res) {... стандартная процедура, пересекает два отрезка a и b и
закидывает результат в res ...
... если отрезки перекрываются, то закидывает те концы, которые
попали внутрь первого отрезка ... }
int main() {// 入力ные данные
int m;vector < pair<point,point> > a (m);
... чтение ...
// построение グラフа
for (int i=0; i<m; ++i) {vector<point> cur;
for (int j=0; j<m; ++j)intersect (a[i], a[j], cur);
sort (cur.begin(), cur.end());
for (size_t j=0; j+1<cur.size(); ++j) {int x = get_id (cur[j]), y = get_id (cur[j+1]);if (x != y) {g[x].push_back (y);
g[y].push_back (x);
} } }
int n = (int) g.size();// сортировка по углу и удаление кратных рёбер
for (int i=0; i<n; ++i) {sort (g[i].begin(), g[i].end(), cmp_ang (i));
g[i].erase (unique (g[i].begin(), g[i].end()), g[i].end());
} }
C# 解法
自動ドラフト、提出前に確認using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
public static class AlgorithmDraft
{
// Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
int n; // число вершин
vector < List<int> > g; // граф
vector < List<char> > used (n);
for (int i=0; i<n; ++i)
used[i].resize (g[i].size());
for (int i=0; i<n; ++i)
for (size_t j=0; j<g[i].size(); ++j)
if (!used[i][j]) {
used[i][j] = true;
int v = g[i][j], pv = i;
List<int> facet;
for (;;) {
facet.push_back (v);
List<int>::iterator it = find (g[v].begin(),
g[v].end(), pv);
if (++it == g[v].end()) it = g[v].begin();
if (used[v][it-g[v].begin()]) break;
used[v][it-g[v].begin()] = true;
pv = v, v = *it;
}
... вывод facet - текущей грани ...
}
class cmp_ang {
int center;
public:
cmp_ang (int center) : center(center)
{ }
bool operator() (int a, int b) const {
... должна возвращать true, если точка a имеет
меньший чем b полярный угол относительно center ...
}
};
int n; // число вершин
vector < List<int> > g; // граф
vector < List<char> > used (n);
for (int i=0; i<n; ++i)
used[i].resize (g[i].size());
for (int i=0; i<n; ++i)
for (size_t j=0; j<g[i].size(); ++j)
if (!used[i][j]) {
used[i][j] = true;
int v = g[i][j], pv = i;
List<int> facet;
for (;;) {
facet.push_back (v);
List<int>::iterator it = lower_bound (g
[v].begin(), g[v].end(),
pv, cmp_ang(v));
if (++it == g[v].end()) it = g[v].begin();
if (used[v][it-g[v].begin()]) break;
used[v][it-g[v].begin()] = true;
pv = v, v = *it;
}
... вывод facet - текущей грани ...
}
... обычный код по обнаружению граней ...
... сразу после цикла, обнаруживающего
очередную грань: ...
// считаем площадь
double area = 0;
// добавляем фиктивную точку для простоты
подсчёта площади
facet.push_back (facet[0]);
for (size_t k=0; k+1<facet.size(); ++k)
area += (p[facet[k]].first + p[facet[k
+1]].first)
* (p[facet[k]].second - p[facet[k
+1]].second);
if (area < EPS)
... грань является внешней ...
}
const double EPS = 1E-9;
struct point {
double x, y;
bool operator< (const point & p) const {
return x < p.x - EPS || abs (x - p.x) < EPS && y < p.y - EPS;
}
};
map<point,int> ids;
vector<point> p;
vector < List<int> > g;
int get_point_id (point pt) {
if (!ids.count(pt)) {
ids[pt] = (int)p.size();
p.push_back (pt);
g.resize (g.size() + 1);
}
return ids[p];
}
void intersect (pair<point,point> a, pair<point,point> b, vector<point> & res) {
... стандартная процедура, пересекает два отрезка a и b и
закидывает результат в res ...
... если отрезки перекрываются, то закидывает те концы, которые
попали внутрь первого отрезка ...
}
int main() {
// входные данные
int m;
vector < pair<point,point> > a (m);
... чтение ...
// построение графа
for (int i=0; i<m; ++i) {
vector<point> cur;
for (int j=0; j<m; ++j)
intersect (a[i], a[j], cur);
sort (cur.begin(), cur.end());
for (size_t j=0; j+1<cur.size(); ++j) {
int x = get_id (cur[j]), y = get_id (cur[j+1]);
if (x != y) {
g[x].push_back (y);
g[y].push_back (x);
}
}
}
int n = (int) g.size();
// сортировка по углу и удаление кратных рёбер
for (int i=0; i<n; ++i) {
sort (g[i].begin(), g[i].end(), cmp_ang (i));
g[i].erase (unique (g[i].begin(), g[i].end()), g[i].end());
}
}
}C++ 解法
照合済み/オリジナルint n; // число вершин
vector < vector<int> > g; // граф
vector < vector<char> > used (n);
for (int i=0; i<n; ++i)
used[i].resize (g[i].size());
for (int i=0; i<n; ++i)
for (size_t j=0; j<g[i].size(); ++j)
if (!used[i][j]) {
used[i][j] = true;
int v = g[i][j], pv = i;
vector<int> facet;
for (;;) {
facet.push_back (v);
vector<int>::iterator it = find (g[v].begin(),
g[v].end(), pv);
if (++it == g[v].end()) it = g[v].begin();
if (used[v][it-g[v].begin()]) break;
used[v][it-g[v].begin()] = true;
pv = v, v = *it;
}
... вывод facet - текущей грани ...
}
class cmp_ang {
int center;
public:
cmp_ang (int center) : center(center)
{ }
bool operator() (int a, int b) const {
... должна возвращать true, если точка a имеет
меньший чем b полярный угол относительно center ...
}
};
int n; // число вершин
vector < vector<int> > g; // граф
vector < vector<char> > used (n);
for (int i=0; i<n; ++i)
used[i].resize (g[i].size());
for (int i=0; i<n; ++i)
for (size_t j=0; j<g[i].size(); ++j)
if (!used[i][j]) {
used[i][j] = true;
int v = g[i][j], pv = i;
vector<int> facet;
for (;;) {
facet.push_back (v);
vector<int>::iterator it = lower_bound (g
[v].begin(), g[v].end(),
pv, cmp_ang(v));
if (++it == g[v].end()) it = g[v].begin();
if (used[v][it-g[v].begin()]) break;
used[v][it-g[v].begin()] = true;
pv = v, v = *it;
}
... вывод facet - текущей грани ...
}
... обычный код по обнаружению граней ...
... сразу после цикла, обнаруживающего
очередную грань: ...
// считаем площадь
double area = 0;
// добавляем фиктивную точку для простоты
подсчёта площади
facet.push_back (facet[0]);
for (size_t k=0; k+1<facet.size(); ++k)
area += (p[facet[k]].first + p[facet[k
+1]].first)
* (p[facet[k]].second - p[facet[k
+1]].second);
if (area < EPS)
... грань является внешней ...
}
const double EPS = 1E-9;
struct point {
double x, y;
bool operator< (const point & p) const {
return x < p.x - EPS || abs (x - p.x) < EPS && y < p.y - EPS;
}
};
map<point,int> ids;
vector<point> p;
vector < vector<int> > g;
int get_point_id (point pt) {
if (!ids.count(pt)) {
ids[pt] = (int)p.size();
p.push_back (pt);
g.resize (g.size() + 1);
}
return ids[p];
}
void intersect (pair<point,point> a, pair<point,point> b, vector<point> & res) {
... стандартная процедура, пересекает два отрезка a и b и
закидывает результат в res ...
... если отрезки перекрываются, то закидывает те концы, которые
попали внутрь первого отрезка ...
}
int main() {
// входные данные
int m;
vector < pair<point,point> > a (m);
... чтение ...
// построение графа
for (int i=0; i<m; ++i) {
vector<point> cur;
for (int j=0; j<m; ++j)
intersect (a[i], a[j], cur);
sort (cur.begin(), cur.end());
for (size_t j=0; j+1<cur.size(); ++j) {
int x = get_id (cur[j]), y = get_id (cur[j+1]);
if (x != y) {
g[x].push_back (y);
g[y].push_back (x);
}
}
}
int n = (int) g.size();
// сортировка по углу и удаление кратных рёбер
for (int i=0; i<n; ++i) {
sort (g[i].begin(), g[i].end(), cmp_ang (i));
g[i].erase (unique (g[i].begin(), g[i].end()), g[i].end());
}
}Java 解法
自動ドラフト、提出前に確認import java.util.*;
import java.math.*;
public class AlgorithmDraft {
// Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
int n; // число вершин
vector < ArrayList<Integer> > g; // граф
vector < ArrayList<Character> > used (n);
for (int i=0; i<n; ++i)
used[i].resize (g[i].size());
for (int i=0; i<n; ++i)
for (size_t j=0; j<g[i].size(); ++j)
if (!used[i][j]) {
used[i][j] = true;
int v = g[i][j], pv = i;
ArrayList<Integer> facet;
for (;;) {
facet.push_back (v);
ArrayList<Integer>::iterator it = find (g[v].begin(),
g[v].end(), pv);
if (++it == g[v].end()) it = g[v].begin();
if (used[v][it-g[v].begin()]) break;
used[v][it-g[v].begin()] = true;
pv = v, v = *it;
}
... вывод facet - текущей грани ...
}
class cmp_ang {
int center;
public:
cmp_ang (int center) : center(center)
{ }
boolean operator() (int a, int b) const {
... должна возвращать true, если точка a имеет
меньший чем b полярный угол относительно center ...
}
};
int n; // число вершин
vector < ArrayList<Integer> > g; // граф
vector < ArrayList<Character> > used (n);
for (int i=0; i<n; ++i)
used[i].resize (g[i].size());
for (int i=0; i<n; ++i)
for (size_t j=0; j<g[i].size(); ++j)
if (!used[i][j]) {
used[i][j] = true;
int v = g[i][j], pv = i;
ArrayList<Integer> facet;
for (;;) {
facet.push_back (v);
ArrayList<Integer>::iterator it = lower_bound (g
[v].begin(), g[v].end(),
pv, cmp_ang(v));
if (++it == g[v].end()) it = g[v].begin();
if (used[v][it-g[v].begin()]) break;
used[v][it-g[v].begin()] = true;
pv = v, v = *it;
}
... вывод facet - текущей грани ...
}
... обычный код по обнаружению граней ...
... сразу после цикла, обнаруживающего
очередную грань: ...
// считаем площадь
double area = 0;
// добавляем фиктивную точку для простоты
подсчёта площади
facet.push_back (facet[0]);
for (size_t k=0; k+1<facet.size(); ++k)
area += (p[facet[k]].first + p[facet[k
+1]].first)
* (p[facet[k]].second - p[facet[k
+1]].second);
if (area < EPS)
... грань является внешней ...
}
const double EPS = 1E-9;
struct point {
double x, y;
boolean operator< (const point & p) const {
return x < p.x - EPS || abs (x - p.x) < EPS && y < p.y - EPS;
}
};
map<point,int> ids;
vector<point> p;
vector < ArrayList<Integer> > g;
int get_point_id (point pt) {
if (!ids.count(pt)) {
ids[pt] = (int)p.size();
p.push_back (pt);
g.resize (g.size() + 1);
}
return ids[p];
}
void intersect (pair<point,point> a, pair<point,point> b, vector<point> & res) {
... стандартная процедура, пересекает два отрезка a и b и
закидывает результат в res ...
... если отрезки перекрываются, то закидывает те концы, которые
попали внутрь первого отрезка ...
}
int main() {
// входные данные
int m;
vector < pair<point,point> > a (m);
... чтение ...
// построение графа
for (int i=0; i<m; ++i) {
vector<point> cur;
for (int j=0; j<m; ++j)
intersect (a[i], a[j], cur);
sort (cur.begin(), cur.end());
for (size_t j=0; j+1<cur.size(); ++j) {
int x = get_id (cur[j]), y = get_id (cur[j+1]);
if (x != y) {
g[x].push_back (y);
g[y].push_back (x);
}
}
}
int n = (int) g.size();
// сортировка по углу и удаление кратных рёбер
for (int i=0; i<n; ++i) {
sort (g[i].begin(), g[i].end(), cmp_ang (i));
g[i].erase (unique (g[i].begin(), g[i].end()), g[i].end());
}
}
}Материал разбит как アルゴリズムическая 問題: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать アルゴリズム на выбранном языке.
Vacancies for this task
有効な求人 with overlapping task tags are 表示.