E014. Нахождение степени делителя факториала

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 43.

given два числа:

и

. it is required посчитать, с какой степенью делитель

Đầu vàoит в number

, т.е. find наибольшее

такое, что

делится на

.

Lời giải для случая простого

Рассмотрим сначала случай, когда

простое. Выпишем выражение для факториала в явном виде:

Заметим, что каждый

-ый член этого произведения делится на

, т.е. даёт +1 к ответу; количество таких членов

равно

.

Далее, заметим, что каждый

-ый член этого ряда делится на

, т.е. даёт ещё +1 к ответу (given, что

в

первой степени уже было учтено до этого); количество таких членов равно .

И так далее, каждый

-ый член ряда даёт +1 к ответу, а количество таких членов равно

. Таким образом, ответ равен величине: Эта сумма, разумеется, не бесконечная, т.к. только первые Ví dụно членов отличны от нуля.

Следовательно, Asymptotic complexity такого Thuật toánа равна

. Cài đặt:

int fact_pow (int n, int k) {

int res = 0;

while (n) {

n /= k;

res += n;

}

return res;

}

Lời giải для случая составного

Ту же идею применить здесь непосредственно уже нельзя.

Но мы можем факторизовать

, решить задачу для каждого его простого делителя, а потом выбрать минимум из ответов.

Более формально, пусть

— это

-ый делитель числа

, Đầu vàoящий в него в степени

. Решим задачу для

с

помощью вышеописанной формулы за

; пусть мы получили ответ

. Тогда ответом для составного

будет минимум из величин

.

given, что факторизация простейшим образом выполняется за

, получаем итоговую асимптотику

.