E043. Нахождение отрицательного цикла в 图е

e-maxx algorithm original: C/C++ #algorithm #emaxx #graph
题目文本会按所选界面语言从俄语翻译；代码保持不变。
Static

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 132.

Дан ориентированный взвешенный 图

с

vertexми и

рёбрами. it is required find в нём любой

цикл отрицательного веса, если таковой имеется. При другой постановке задачи — it is required find все пары вершин такие, что между ними существует путь сколько угодно малой длины. Эти два варианта задачи удобно решать разными 算法ами, поэтому ниже будут рассмотрены оба из них. Одна из распространённых "жизненных" постановок этой задачи — следующая: известны курсы валют, т.е. курсы перевода из одной валюты в другую. it is required узнать, можно ли некоторой последовательностью обменов получить выгоду, т.е. стартовав с одной единицы какой-либо валюты, получить в итоге больше чем одну единицу этой же валюты.

解法 с помощью 算法а Форда-Беллмана

Bellman-Ford algorithm позволяет проверить наличие или отсутствие цикла отрицательного веса в 图е, а при его наличии — find один из таких циклов. Не будем вдаваться здесь в подробности (которые описаны в статье по 算法у Форда-Беллмана), а приведём лишь итог — то, как работает 算法.

Делается

итераций 算法а Форда-Беллмана, и если на последней итерации не произошло никаких изменений — то отрицательного цикла в 图е нет. В противном случае возьмём вершину, расстояние до которой изменилось, и будем идти от неё по предкам, пока не войдём в цикл; этот цикл и будет искомым отрицательным циклом. 实现:

struct edge {

int a, b, cost;

};

int n, m;

vector<edge> e;

const int INF = 1000000000;

void solve() {

vector<int> d (n);

vector<int> p (n, -1);

int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {

x = -1;

for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {

d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);

p[e[j].b] = e[j].a;

x = e[j].b;

} }

if (x == -1)

cout << "No negative cycle found.";

else {

int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)

y = p[y];

vector<int> path;

for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {

path.push_back (cur);

if (cur == y && path.size() > 1)  break;

}

reverse (path.begin(), path.end());

cout << "Negative cycle: ";

for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)

cout << path[i] << ' ';

} }

解法 с помощью 算法а Флойда-Уоршелла

Floyd-Warshall algorithm позволяет решать вторую постановку задачи — когда надо find все пары вершин , между которыми кратчайшего пути не существует (т.е. он имеет бесконечно малую величину). Опять же, более подробные объяснения содержатся в описании 算法а Флойда-Уоршелла, а здесь мы приведём только итог. После того, как Floyd-Warshall algorithm отработает для 输入ного 图а, переберём все пары вершин

, и

для каждой такой пары проверим, бесконечно мал 最短路径 из

в

или нет. Для этого переберём третью

вершину

, и если для неё оказалось

(т.е. она лежит в цикле отрицательного веса), а сама она достижима

из

и из неё достижима

— то путь

может иметь бесконечно малую длину. 实现:

for (int i=0; i<n; ++i)
for (int j=0; j<n; ++j)
for (int t=0; t<n; ++t)
if (d[i][t] < INF && d[t][t] < 0 && d[t][j] < INF)

d[i][j] = -INF;

Задачи в online judges

Список задач, в которых it is required искать цикл отрицательного веса:

● UVA #499 "Wormholes" [Complexity: низкая]

● UVA #104 "Arbitrage" [Complexity: средняя]

● UVA #10557 "XYZZY" [Complexity: средняя]

C# 解法

自动草稿，提交前请检查 
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

public static class AlgorithmDraft
{
    // Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    struct edge {
            int a, b, cost;
    };
    int n, m;
    vector<edge> e;
    const int INF = 1000000000;
    void solve() {
            List<int> d (n);
            List<int> p (n, -1);
            int x;
            for (int i=0; i<n; ++i) {
                    x = -1;
                    for (int j=0; j<m; ++j)
                            if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
                                    d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
                                    p[e[j].b] = e[j].a;
                                    x = e[j].b;
                            }
            }
            if (x == -1)
                    Console.WriteLine( "No negative cycle found.";
            else {
                    int y = x;
                    for (int i=0; i<n; ++i)
                            y = p[y];
                    List<int> path;
                    for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
                            path.push_back (cur);
                            if (cur == y && path.size() > 1)  break;
                    }
                    reverse (path.begin(), path.end());
                    Console.WriteLine( "Negative cycle: ";
                    for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
                            Console.WriteLine( path[i] << ' ';
            }
    }
    for (int i=0; i<n; ++i)
            for (int j=0; j<n; ++j)
                    for (int t=0; t<n; ++t)
                            if (d[i][t] < INF && d[t][t] < 0 && d[t][j] < INF)
                                    d[i][j] = -INF;
}

C++ 解法

匹配/原始 
struct edge {
        int a, b, cost;
};
int n, m;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
        vector<int> d (n);
        vector<int> p (n, -1);
        int x;
        for (int i=0; i<n; ++i) {
                x = -1;
                for (int j=0; j<m; ++j)
                        if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
                                d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
                                p[e[j].b] = e[j].a;
                                x = e[j].b;
                        }
        }
        if (x == -1)
                cout << "No negative cycle found.";
        else {
                int y = x;
                for (int i=0; i<n; ++i)
                        y = p[y];
                vector<int> path;
                for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
                        path.push_back (cur);
                        if (cur == y && path.size() > 1)  break;
                }
                reverse (path.begin(), path.end());
                cout << "Negative cycle: ";
                for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
                        cout << path[i] << ' ';
        }
}
for (int i=0; i<n; ++i)
        for (int j=0; j<n; ++j)
                for (int t=0; t<n; ++t)
                        if (d[i][t] < INF && d[t][t] < 0 && d[t][j] < INF)
                                d[i][j] = -INF;

Java 解法

自动草稿，提交前请检查 
import java.util.*;
import java.math.*;

public class AlgorithmDraft {
    // Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    struct edge {
            int a, b, cost;
    };
    int n, m;
    vector<edge> e;
    const int INF = 1000000000;
    void solve() {
            ArrayList<Integer> d (n);
            ArrayList<Integer> p (n, -1);
            int x;
            for (int i=0; i<n; ++i) {
                    x = -1;
                    for (int j=0; j<m; ++j)
                            if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
                                    d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
                                    p[e[j].b] = e[j].a;
                                    x = e[j].b;
                            }
            }
            if (x == -1)
                    System.out.println( "No negative cycle found.";
            else {
                    int y = x;
                    for (int i=0; i<n; ++i)
                            y = p[y];
                    ArrayList<Integer> path;
                    for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
                            path.push_back (cur);
                            if (cur == y && path.size() > 1)  break;
                    }
                    reverse (path.begin(), path.end());
                    System.out.println( "Negative cycle: ";
                    for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
                            System.out.println( path[i] << ' ';
            }
    }
    for (int i=0; i<n; ++i)
            for (int j=0; j<n; ++j)
                    for (int t=0; t<n; ++t)
                            if (d[i][t] < INF && d[t][t] < 0 && d[t][j] < INF)
                                    d[i][j] = -INF;
}

Материал разбит как 算法ическая 题目: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать 算法 на выбранном языке.

Vacancies for this task

活跃职位 with overlapping task tags are 已显示.

所有职位
目前还没有活跃职位。