E043. Нахождение отрицательного цикла в graphе

e-maxx algorithm original: C/C++ #algorithm #emaxx #graph

Task text is translated from Russian for the selected interface language. Code is left unchanged.

Static

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 132.

Дан ориентированный взвешенный graph

с

vertexми и

рёбрами. it is required find в нём любой

цикл отрицательного веса, если таковой имеется. При другой постановке задачи — it is required find все пары вершин такие, что между ними существует путь сколько угодно малой длины. Эти два варианта задачи удобно решать разными Algorithmами, поэтому ниже будут рассмотрены оба из них. Одна из распространённых "жизненных" постановок этой задачи — следующая: известны курсы валют, т.е. курсы перевода из одной валюты в другую. it is required узнать, можно ли некоторой последовательностью обменов получить выгоду, т.е. стартовав с одной единицы какой-либо валюты, получить в итоге больше чем одну единицу этой же валюты.

Solution с помощью Algorithmа Форда-Беллмана

Bellman-Ford algorithm позволяет проверить наличие или отсутствие цикла отрицательного веса в graphе, а при его наличии — find один из таких циклов. Не будем вдаваться здесь в подробности (которые описаны в статье по Algorithmу Форда-Беллмана), а приведём лишь итог — то, как работает Algorithm.

Делается

итераций Algorithmа Форда-Беллмана, и если на последней итерации не произошло никаких изменений — то отрицательного цикла в graphе нет. В противном случае возьмём вершину, расстояние до которой изменилось, и будем идти от неё по предкам, пока не войдём в цикл; этот цикл и будет искомым отрицательным циклом. Implementation:

struct edge {

int a, b, cost;

};

int n, m;

vector<edge> e;

const int INF = 1000000000;

void solve() {

vector<int> d (n);

vector<int> p (n, -1);

int x;

for (int i=0; i<n; ++i) {

x = -1;

for (int j=0; j<m; ++j)

if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {

d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);

p[e[j].b] = e[j].a;

x = e[j].b;

} }

if (x == -1)

cout << "No negative cycle found.";

else {

int y = x;

for (int i=0; i<n; ++i)

y = p[y];

vector<int> path;

for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {

path.push_back (cur);

if (cur == y && path.size() > 1)  break;

}

reverse (path.begin(), path.end());

cout << "Negative cycle: ";

for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)

cout << path[i] << ' ';

} }

Solution с помощью Algorithmа Флойда-Уоршелла

Floyd-Warshall algorithm позволяет решать вторую постановку задачи — когда надо find все пары вершин , между которыми кратчайшего пути не существует (т.е. он имеет бесконечно малую величину). Опять же, более подробные объяснения содержатся в описании Algorithmа Флойда-Уоршелла, а здесь мы приведём только итог. После того, как Floyd-Warshall algorithm отработает для Inputного graphа, переберём все пары вершин

, и

для каждой такой пары проверим, бесконечно мал shortest path из

в

или нет. Для этого переберём третью

вершину

, и если для неё оказалось

(т.е. она лежит в цикле отрицательного веса), а сама она достижима

из

и из неё достижима

— то путь

может иметь бесконечно малую длину. Implementation:

for (int i=0; i<n; ++i)

for (int j=0; j<n; ++j)

for (int t=0; t<n; ++t)

if (d[i][t] < INF && d[t][t] < 0 && d[t][j] < INF)

d[i][j] = -INF;

Задачи в online judges

Список задач, в которых it is required искать цикл отрицательного веса:

● UVA #499 "Wormholes" [Complexity: низкая]

● UVA #104 "Arbitrage" [Complexity: средняя]

● UVA #10557 "XYZZY" [Complexity: средняя]

C# solution

auto-draft, review before submit

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

public static class AlgorithmDraft
{
    // Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    struct edge {
            int a, b, cost;
    };
    int n, m;
    vector<edge> e;
    const int INF = 1000000000;
    void solve() {
            List<int> d (n);
            List<int> p (n, -1);
            int x;
            for (int i=0; i<n; ++i) {
                    x = -1;
                    for (int j=0; j<m; ++j)
                            if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
                                    d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
                                    p[e[j].b] = e[j].a;
                                    x = e[j].b;
                            }
            }
            if (x == -1)
                    Console.WriteLine( "No negative cycle found.";
            else {
                    int y = x;
                    for (int i=0; i<n; ++i)
                            y = p[y];
                    List<int> path;
                    for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
                            path.push_back (cur);
                            if (cur == y && path.size() > 1)  break;
                    }
                    reverse (path.begin(), path.end());
                    Console.WriteLine( "Negative cycle: ";
                    for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
                            Console.WriteLine( path[i] << ' ';
            }
    }
    for (int i=0; i<n; ++i)
            for (int j=0; j<n; ++j)
                    for (int t=0; t<n; ++t)
                            if (d[i][t] < INF && d[t][t] < 0 && d[t][j] < INF)
                                    d[i][j] = -INF;
}

C++ solution

matched/original

struct edge {
        int a, b, cost;
};
int n, m;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
        vector<int> d (n);
        vector<int> p (n, -1);
        int x;
        for (int i=0; i<n; ++i) {
                x = -1;
                for (int j=0; j<m; ++j)
                        if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
                                d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
                                p[e[j].b] = e[j].a;
                                x = e[j].b;
                        }
        }
        if (x == -1)
                cout << "No negative cycle found.";
        else {
                int y = x;
                for (int i=0; i<n; ++i)
                        y = p[y];
                vector<int> path;
                for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
                        path.push_back (cur);
                        if (cur == y && path.size() > 1)  break;
                }
                reverse (path.begin(), path.end());
                cout << "Negative cycle: ";
                for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
                        cout << path[i] << ' ';
        }
}
for (int i=0; i<n; ++i)
        for (int j=0; j<n; ++j)
                for (int t=0; t<n; ++t)
                        if (d[i][t] < INF && d[t][t] < 0 && d[t][j] < INF)
                                d[i][j] = -INF;

Java solution

auto-draft, review before submit

import java.util.*;
import java.math.*;

public class AlgorithmDraft {
    // Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    struct edge {
            int a, b, cost;
    };
    int n, m;
    vector<edge> e;
    const int INF = 1000000000;
    void solve() {
            ArrayList<Integer> d (n);
            ArrayList<Integer> p (n, -1);
            int x;
            for (int i=0; i<n; ++i) {
                    x = -1;
                    for (int j=0; j<m; ++j)
                            if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
                                    d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
                                    p[e[j].b] = e[j].a;
                                    x = e[j].b;
                            }
            }
            if (x == -1)
                    System.out.println( "No negative cycle found.";
            else {
                    int y = x;
                    for (int i=0; i<n; ++i)
                            y = p[y];
                    ArrayList<Integer> path;
                    for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
                            path.push_back (cur);
                            if (cur == y && path.size() > 1)  break;
                    }
                    reverse (path.begin(), path.end());
                    System.out.println( "Negative cycle: ";
                    for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
                            System.out.println( path[i] << ' ';
            }
    }
    for (int i=0; i<n; ++i)
            for (int j=0; j<n; ++j)
                    for (int t=0; t<n; ++t)
                            if (d[i][t] < INF && d[t][t] < 0 && d[t][j] < INF)
                                    d[i][j] = -INF;
}

Материал разбит как Algorithmическая Task: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать Algorithm на выбранном языке.

Vacancies for this task

Active vacancies with overlapping task tags are shown.

All vacancies

There are no active vacancies yet.