E012. Модульное линейное уравнение первого порядка

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 38.

Постановка задачи

Это уравнение вида:

где

— заданные целые числа,

— неизвестное целое число.

Требуется найти искомое значение

, лежащее в отрезке

(поскольку на всей числовой прямой, ясно,

может существовать бесконечно много решений, которые будут отличаться друг друга на

, где

— любое

целое число). Если решение не единственно, то мы рассмотрим, как получить все решения.

Решение с помощью нахождения Обратного элемента

Рассмотрим сначала более простой случай — когда

и

взаимно просты. Тогда можно найти обратный

элемент к числу

, и, домножив на него обе части уравнения, получить решение (и оно будет единственным):

Теперь рассмотрим случай, когда

и

не взаимно просты. Тогда, очевидно, решение будет существовать

не всегда (например,

).

Пусть

, т.е. их наибольший общий делитель (который в данном случае больше единицы).

Тогда, если

не делится на

, то решения не существует. В самом деле, при любом

левая часть уравнения, т. е.

, всегда делится на

, в то время как правая часть на него не делится, откуда и следует, что решений нет.

Если же

делится на

, то, разделив обе части уравнения на это

(т.е. разделив

,

и

на

), мы придём к

новому уравнению:

в котором

и

уже будут взаимно просты, а такое уравнение мы уже научились решать. Обозначим его решение

через

.

Понятно, что это

будет также являться и решением исходного уравнения. Однако если

, то оно будет

не единственным решением. Можно показать, что исходное уравнение будет иметь ровно

решений, и они

будут иметь вид:

Подводя итог, можно сказать, что количество решений линейного модульного уравнения равно

либо

, либо нулю.

Решение с помощью Расширенного алгоритма Евклида

Приведём наше модулярное уравнение к диофантову уравнению следующим образом:

где

и

— неизвестные целые числа. Способ решения этого уравнения описан в соответствующей статье Линейные диофантовы уравнения второго порядка, и заключается он в применении Расширенного алгоритма Евклида. Там же описан и способ получения всех решений этого уравнения по одному найденному решению, и, кстати говоря, этот способ при внимательном рассмотрении абсолютно эквивалентен способу, описанному в предыдущем пункте.