E039. Minimum spanning tree. Kruskal's algorithm

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 122.

Дан взвешенный неориентированный 图. it is required find такое под树 этого 图а, которое бы соединяло все его вершины, и при этом обладало наименьшим весом (т.е. суммой весов рёбер) из всех возможных. Такое под树 называется минимальным остовным 树м или простом минимальным остовом. Здесь будут рассмотрены несколько важных фактов, связанных с минимальными остовами, затем будет рассмотрен Kruskal's algorithm в его простейшей реализации.

Свойства минимального остова

● minimum остов уникален, если веса всех рёбер различны. В противном случае,

может существовать несколько минимальных остовов (конкретные 算法ы обычно получают один из возможных остовов).

● minimum остов является также и остовом с минимальным произведением весов рёбер.

(доказывается это легко, достаточно заменить веса всех рёбер на их логарифмы)

● minimum остов является также и остовом с минимальным весом самого тяжелого ребра.

(это утверждение следует из справедливости 算法а Крускала)

● Остов максимального веса ищется аналогично остову минимального веса, достаточно поменять знаки

всех рёбер на противоположные и выполнить любой из 算法 минимального остова.

Kruskal's algorithm

Данный 算法 был описан Крускалом (Kruskal) в 1956 г. Kruskal's algorithm изначально помещает каждую вершину в своё 树, а затем постепенно объединяет эти деревья, объединяя на каждой итерации два некоторых дерева некоторым edgeм. Перед началом выполнения 算法а, все рёбра сортируются по весу (в порядке неубывания). Затем начинается процесс объединения: перебираются все рёбра от первого до последнего (в порядке сортировки), и если у текущего ребра его концы принадлежат разным поддеревьям, то эти поддеревья объединяются, а edge добавляется к ответу. По окончании перебора всех рёбер все вершины окажутся принадлежащими одному поддереву, и ответ найден.

Простейшая 实现

Этот код самым непосредственным образом реализует описанный выше 算法, и выполняется за O (M log N + N2). Сортировка рёбер потребует O (M log N) операций. Принадлежность вершины тому или иному поддереву хранится просто с помощью 数组а tree_id - в нём для каждой вершины хранится номер дерева, которому она принадлежит. Для каждого ребра мы за O (1) определяем, принадлежат ли его концы разным деревьям. Наконец, объединение двух деревьев осуществляется за O (N) простым проходом по 数组у tree_id. given, что всего операций объединения будет N-1, мы и получаем асимптотику O (M log N + N2).

int m;

vector < pair < int, pair<int,int> > > g (m); // вес - vertex 1 - vertex 2

int cost = 0;

vector < pair<int,int> > res;

sort (g.begin(), g.end());

vector<int> tree_id (n);

for (int i=0; i<n; ++i)

tree_id[i] = i;

for (int i=0; i<m; ++i)

{

int a = g[i].second.first,  b = g[i].second.second,  l = g[i].first;

if (tree_id[a] != tree_id[b])

{

cost += l;

res.push_back (make_pair (a, b));

int old_id = tree_id[b],  new_id = tree_id[a];

for (int j=0; j<n; ++j)

if (tree_id[j] == old_id)

tree_id[j] = new_id;

} }

Улучшенная 实现

С использованием структуры данных "Disjoint set union" можно написать более быструю реализацию 算法а Крускала с асимптотикой O (M log N).