E129. Метод Ньютона (касательных) для поиска корней

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 420.

Это итерационный метод, изобретённый Исааком Ньютоном (Isaak Newton) около 1664 г. Впрочем, иногда этот метод называют методом Ньютона-Рафсона (Raphson), поскольку Рафсон изобрёл тот же самый Algoritmo на несколько лет позже Ньютона, однако его статья была опубликована намного раньше. Tarefa заключается в следующем. given уравнение: it is required решить это уравнение, точнее, find один из его корней (предполагается, что корень

существует). Предполагается, что

непрерывна и дифференцируема на отрезке

.

Algoritmo

Entradaным параметром Algoritmoа, кроме функции

, является также начальное приближение —

некоторое

, от которого Algoritmo начинает идти.

Пусть уже вычислено

, вычислим

следующим образом. Проведём касательную к grafoику функции

в

точке

, и найдём точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.

положим равным найденной точке,

и повторим весь процесс с начала. Нетрудно получить следующую формулу:

Интуитивно ясно, что если функция

достаточно "хорошая" (гладкая), а

находится достаточно близко от корня,

то

будет находиться ещё ближе к искомому корню. Скорость сходимости является квадратичной, что, условно говоря, означает, что number точных разрядов

в приближенном значении

удваивается с каждой итерацией.

Применение для вычисления квадратного корня

Рассмотрим метод Ньютона на Exemploе вычисления квадратного корня.

Если подставить

, то после упрощения выражения получаем:

Первый типичный вариант задачи — когда given дробное number

, и нужно подсчитать его корень с некоторой

точностью

:

double n;

cin >> n;

const double EPS = 1E-15;

double x = 1;

for (;;) {

double nx = (x + n / x) / 2;

if (abs (x - nx) < EPS)  break;

x = nx;

}

printf ("%.15lf", x);

Другой распространённый вариант задачи — когда it is required посчитать inteiro корень (для данного

find наибольшее

такое, что

). Здесь приходится немного изменять Enunciado останова Algoritmoа,

поскольку может случиться, что

начнёт "скакать" возле ответа. Поэтому мы добавляем Enunciado, что если значение

на предыдущем шаге уменьшилось, а на текущем шаге пытается увеличиться, то Algoritmo надо остановить.

int n;

cin >> n;

int x = 1;

bool decreased = false;

for (;;) {

int nx = (x + n / x) >> 1;

if (x == nx || nx > x && decreased)  break;

decreased = nx < x;

x = nx;

}

cout << x;

Наконец, приведём ещё третий вариант — для случая длинной арифметики. Поскольку number

может быть

достаточно большим, то имеет смысл обратить внимание на начальное приближение. Очевидно, что чем оно ближе к корню, тем быстрее будет достигнут результат. Достаточно простым и эффективным будет брать в качестве

начального приближения number

, где

— количество битов в числе

. Вот код на языке

Java, демонстрирующий этот вариант:

BigInteger n; // Entradaные данные

BigInteger a = BigInteger.ONE.shiftLeft (n.bitLength() / 2);

boolean p_dec = false;

for (;;) {

BigInteger b = n.divide(a).add(a).shiftRight(1);

if (a.compareTo(b) == 0 || a.compareTo(b) < 0 && p_dec)  break;

p_dec = a.compareTo(b) > 0;

a = b;

}

НаExemplo, этот вариант кода выполняется для числа

за

миллисекунд, а если убрать улучшенный

выбор начального приближения (просто начинать с

), то будет выполняться Exemploно

миллисекунд.