E002. Binary exponentiation
Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 10.
Бинарное (двоичное) возведение в степень — это приём, позволяющий возводить любое number в
-ую степень
за
умножений (вместо
умножений при обычном подходе). Более того, описываемый здесь приём применим к любой ассоциативной операции, а не только к умножению чисел. Напомним, операция называется ассоциативной, если для любых выполняется: Наиболее очевидное обобщение — на остатки по некоторому модулю (очевидно, ассоциативность сохраняется). Следующим по "популярности" является обобщение на произведение матриц (его ассоциативность общеизвестна).
Thuật toán
Заметим, что для любого числа
и чётного числа
выполнимо очевидное тождество (следующее из
ассоциативности операции умножения): Оно и является основным в методе бинарного возведения в степень. Действительно, для чётного
мы показали,
как, потратив всего одну операцию умножения, можно свести задачу к вдвое меньшей степени.
Осталось понять, что делать, если степень
нечётна. Здесь мы поступаем очень просто: перейдём к степени
, которая будет уже чётной:
Итак, мы фактически нашли рекуррентную формулу: от степени
мы переходим, если она чётна, к
, а иначе —
к
. Понятно, что всего будет не более
переходов, прежде чем мы придём к
(базе
рекуррентной формулы). Таким образом, мы получили Thuật toán, работающий за умножений.
Cài đặt
Простейшая рекурсивная Cài đặt:
int binpow (int a, int n) {if (n == 0)return 1;if (n % 2 == 1)return binpow (a, n-1) * a;else {
int b = binpow (a, n/2);return b * b;} } Нерекурсивная Cài đặt, оптимизированная (деления на 2 заменены битовыми операциями):
int binpow (int a, int n) {int res = 1;while (n)if (n & 1) {res *= a;
--n;
}
else {
a *= a;
n >>= 1;
}
return res;} Эту реализацию можно ещё несколько упростить, заметив, что возведение
в квадрат осуществляется
всегда, независимо от того, сработало Đề bài нечётности
или нет:
int binpow (int a, int n) {int res = 1;while (n) {if (n & 1)res *= a;
a *= a;
n >>= 1;
}
return res;} Наконец, стоит отметить, что Binary exponentiation уже реализовано в языке Java, но только для класса длинной арифметики BigInteger (функция pow этого класса работает именно по Thuật toánу бинарного возведения).
C# lời giải
bản nháp tự động, xem lại trước khi gửiusing System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
public static class AlgorithmDraft
{
// Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
int binpow (int a, int n) {
if (n == 0)
return 1;
if (n % 2 == 1)
return binpow (a, n-1) * a;
else {
int b = binpow (a, n/2);
return b * b;
}
}
int binpow (int a, int n) {
int res = 1;
while (n)
if (n & 1) {
res *= a;
--n;
}
else {
a *= a;
n >>= 1;
}
return res;
}
int binpow (int a, int n) {
int res = 1;
while (n) {
if (n & 1)
res *= a;
a *= a;
n >>= 1;
}
return res;
}
}C++ lời giải
đã khớp/gốcint binpow (int a, int n) {
if (n == 0)
return 1;
if (n % 2 == 1)
return binpow (a, n-1) * a;
else {
int b = binpow (a, n/2);
return b * b;
}
}
int binpow (int a, int n) {
int res = 1;
while (n)
if (n & 1) {
res *= a;
--n;
}
else {
a *= a;
n >>= 1;
}
return res;
}
int binpow (int a, int n) {
int res = 1;
while (n) {
if (n & 1)
res *= a;
a *= a;
n >>= 1;
}
return res;
}Java lời giải
bản nháp tự động, xem lại trước khi gửiimport java.util.*;
import java.math.*;
public class AlgorithmDraft {
// Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
int binpow (int a, int n) {
if (n == 0)
return 1;
if (n % 2 == 1)
return binpow (a, n-1) * a;
else {
int b = binpow (a, n/2);
return b * b;
}
}
int binpow (int a, int n) {
int res = 1;
while (n)
if (n & 1) {
res *= a;
--n;
}
else {
a *= a;
n >>= 1;
}
return res;
}
int binpow (int a, int n) {
int res = 1;
while (n) {
if (n & 1)
res *= a;
a *= a;
n >>= 1;
}
return res;
}
}Материал разбит как Thuật toánическая Bài toán: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать Thuật toán на выбранном языке.
Vacancies for this task
việc làm đang hoạt động with overlapping task tags are đã hiển thị.