E003. Euclidean algorithm нахождения НОД (наибольшего общего делителя)

e-maxx algorithm original: C/C++ #algorithm #emaxx #math #number-theory
선택한 UI 언어에 맞게 문제 텍스트를 러시아어에서 번역합니다. 코드는 변경하지 않습니다.
Static

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 12.

given два целых неотрицательных числа

и

. it is required find их наибольший общий делитель, т.е. наибольшее

number, которое является делителем одновременно и

, и

. На английском языке "наибольший общий делитель"

пишется "greatest common divisor", и распространённым его обозначением является :

(здесь символом "

" обозначена делимость, т.е. "

" обозначает "

делит

")

Когда оно из чисел равно нулю, а другое отлично от нуля, их наибольшим общим делителем, согласно определению, будет это второе number. Когда оба числа равны нулю, результат не определён (подойдёт любое бесконечно большое number), мы положим в этом случае наибольший общий делитель равным нулю. Поэтому можно говорить о таком правиле: если одно из чисел равно нулю, то их наибольший общий делитель равен второму числу. Euclidean algorithm, рассмотренный ниже, решает задачу нахождения наибольшего общего делителя двух чисел

и

за

. Данный 알고리즘 был впервые описан в книге Евклида "Начала" (около 300 г. до н.э.), хотя, вполне возможно, этот 알고리즘 имеет более раннее происхождение.

알고리즘

Сам 알고리즘 чрезвычайно прост и описывается следующей формулой:

구현

int gcd (int a, int b) {
if (b == 0)
return a;

else

return gcd (b, a % b);

} Используя тернарный условный оператор C++, 알고리즘 можно записать ещё короче:

int gcd (int a, int b) {
return b ? gcd (b, a % b) : a;

} Наконец, приведём и нерекурсивную форму 알고리즘а:

int gcd (int a, int b) {
while (b) {

a %= b;

swap (a, b);

}

return a;

}

정당성 증명

Сначала заметим, что при каждой итерации 알고리즘а Евклида его второй аргумент строго убывает, следовательно, посколько он неотрицательный, то Euclidean algorithm всегда завершается.

Для доказательства корректности нам необходимо показать, что

для любых

. Покажем, что величина, стоящая в левой части равенства, делится на настоящую в правой, а стоящая в правой — делится на стоящую в левой. Очевидно, это будет означать, что левая и правая части совпадают, что и докажет корректность 알고리즘а Евклида.

Обозначим

. Тогда, по определению,

и

.

Далее, разложим остаток от деления

на

через их частное: Но тогда отсюда следует:

Итак, вспоминая утверждение

, получаем систему: Воспользуемся теперь следующим простым фактом: если для каких-то трёх чисел выполнено:

и

,

то выполняется и: . В нашей ситуации получаем:

Или, подставляя вместо

его 정의 как

, получаем: Итак, мы провели половину доказательства: показали, что левая часть делит правую. Вторая половина доказательства производится аналогично.

실행 시간

실행 시간 알고리즘а оценивается теоремой Ламе, которая устанавливает удивительную связь 알고리즘а Евклида и последовательности Фибоначчи:

Если

и

для некоторого

, то Euclidean algorithm выполнит не более

рекурсивных вызовов. Более того, можно показать, что верхняя граница этой теоремы — оптимальная. При

будет выполнено именно

рекурсивных вызова. Иными словами, последовательные

Fibonacci numbers — наихудшие 입력ные данные для 알고리즘а Евклида. given, что Fibonacci numbers растут экспоненциально (как константа в степени

), получаем, что 알고리즘

Евклида выполняется за

операций умножения.

НОК (наименьшее общее кратное)

Вычисление наименьшего общего кратного (least common multiplier, lcm) сводится к вычислению

следующим

простым утверждением: Таким образом, вычисление НОК также можно сделать с помощью 알고리즘а Евклида, с той же асимптотикой:

int lcm (int a, int b) {
return a / gcd (a, b) * b;

}

(здесь выгодно сначала поделить на

, а только потом домножать на

, поскольку это поможет избежать

переполнений в некоторых случаях)

References

● Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. 알고리즘ы: Построение и

анализ [2005]

C# 해법

자동 초안, 제출 전 검토 
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

public static class AlgorithmDraft
{
    // Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    int gcd (int a, int b) {
            if (b == 0)
                    return a;
            else
                    return gcd (b, a % b);
    }
    int gcd (int a, int b) {
            return b ? gcd (b, a % b) : a;
    }
    int gcd (int a, int b) {
            while (b) {
                    a %= b;
                    swap (a, b);
            }
            return a;
    }
    int lcm (int a, int b) {
            return a / gcd (a, b) * b;
    }
}

C++ 해법

매칭됨/원본 
int gcd (int a, int b) {
        if (b == 0)
                return a;
        else
                return gcd (b, a % b);
}
int gcd (int a, int b) {
        return b ? gcd (b, a % b) : a;
}
int gcd (int a, int b) {
        while (b) {
                a %= b;
                swap (a, b);
        }
        return a;
}
int lcm (int a, int b) {
        return a / gcd (a, b) * b;
}

Java 해법

자동 초안, 제출 전 검토 
import java.util.*;
import java.math.*;

public class AlgorithmDraft {
    // Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    int gcd (int a, int b) {
            if (b == 0)
                    return a;
            else
                    return gcd (b, a % b);
    }
    int gcd (int a, int b) {
            return b ? gcd (b, a % b) : a;
    }
    int gcd (int a, int b) {
            while (b) {
                    a %= b;
                    swap (a, b);
            }
            return a;
    }
    int lcm (int a, int b) {
            return a / gcd (a, b) * b;
    }
}

Материал разбит как 알고리즘ическая 문제: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать 알고리즘 на выбранном языке.

Vacancies for this task

활성 채용 with overlapping task tags are 표시됨.

전체 채용
아직 활성 채용이 없습니다.