E003. Euclidean algorithm нахождения НОД (наибольшего общего делителя)

e-maxx algorithm original: C/C++ #algorithm #emaxx #math #number-theory
El texto de la tarea se traduce del ruso para el idioma seleccionado. El código no cambia.
Static

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 12.

given два целых неотрицательных числа

и

. it is required find их наибольший общий делитель, т.е. наибольшее

number, которое является делителем одновременно и

, и

. На английском языке "наибольший общий делитель"

пишется "greatest common divisor", и распространённым его обозначением является :

(здесь символом "

" обозначена делимость, т.е. "

" обозначает "

делит

")

Когда оно из чисел равно нулю, а другое отлично от нуля, их наибольшим общим делителем, согласно определению, будет это второе number. Когда оба числа равны нулю, результат не определён (подойдёт любое бесконечно большое number), мы положим в этом случае наибольший общий делитель равным нулю. Поэтому можно говорить о таком правиле: если одно из чисел равно нулю, то их наибольший общий делитель равен второму числу. Euclidean algorithm, рассмотренный ниже, решает задачу нахождения наибольшего общего делителя двух чисел

и

за

. Данный Algoritmo был впервые описан в книге Евклида "Начала" (около 300 г. до н.э.), хотя, вполне возможно, этот Algoritmo имеет более раннее происхождение.

Algoritmo

Сам Algoritmo чрезвычайно прост и описывается следующей формулой:

Implementación

int gcd (int a, int b) {
if (b == 0)
return a;

else

return gcd (b, a % b);

} Используя тернарный условный оператор C++, Algoritmo можно записать ещё короче:

int gcd (int a, int b) {
return b ? gcd (b, a % b) : a;

} Наконец, приведём и нерекурсивную форму Algoritmoа:

int gcd (int a, int b) {
while (b) {

a %= b;

swap (a, b);

}

return a;

}

Prueba de corrección

Сначала заметим, что при каждой итерации Algoritmoа Евклида его второй аргумент строго убывает, следовательно, посколько он неотрицательный, то Euclidean algorithm всегда завершается.

Для доказательства корректности нам необходимо показать, что

для любых

. Покажем, что величина, стоящая в левой части равенства, делится на настоящую в правой, а стоящая в правой — делится на стоящую в левой. Очевидно, это будет означать, что левая и правая части совпадают, что и докажет корректность Algoritmoа Евклида.

Обозначим

. Тогда, по определению,

и

.

Далее, разложим остаток от деления

на

через их частное: Но тогда отсюда следует:

Итак, вспоминая утверждение

, получаем систему: Воспользуемся теперь следующим простым фактом: если для каких-то трёх чисел выполнено:

и

,

то выполняется и: . В нашей ситуации получаем:

Или, подставляя вместо

его Definición как

, получаем: Итак, мы провели половину доказательства: показали, что левая часть делит правую. Вторая половина доказательства производится аналогично.

Tiempo de ejecución

Tiempo de ejecución Algoritmoа оценивается теоремой Ламе, которая устанавливает удивительную связь Algoritmoа Евклида и последовательности Фибоначчи:

Если

и

для некоторого

, то Euclidean algorithm выполнит не более

рекурсивных вызовов. Более того, можно показать, что верхняя граница этой теоремы — оптимальная. При

будет выполнено именно

рекурсивных вызова. Иными словами, последовательные

Fibonacci numbers — наихудшие Entradaные данные для Algoritmoа Евклида. given, что Fibonacci numbers растут экспоненциально (как константа в степени

), получаем, что Algoritmo

Евклида выполняется за

операций умножения.

НОК (наименьшее общее кратное)

Вычисление наименьшего общего кратного (least common multiplier, lcm) сводится к вычислению

следующим

простым утверждением: Таким образом, вычисление НОК также можно сделать с помощью Algoritmoа Евклида, с той же асимптотикой:

int lcm (int a, int b) {
return a / gcd (a, b) * b;

}

(здесь выгодно сначала поделить на

, а только потом домножать на

, поскольку это поможет избежать

переполнений в некоторых случаях)

References

● Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. Algoritmoы: Построение и

анализ [2005]

C# solución

borrador automático, revisar antes de enviar 
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

public static class AlgorithmDraft
{
    // Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    int gcd (int a, int b) {
            if (b == 0)
                    return a;
            else
                    return gcd (b, a % b);
    }
    int gcd (int a, int b) {
            return b ? gcd (b, a % b) : a;
    }
    int gcd (int a, int b) {
            while (b) {
                    a %= b;
                    swap (a, b);
            }
            return a;
    }
    int lcm (int a, int b) {
            return a / gcd (a, b) * b;
    }
}

C++ solución

coincidente/original 
int gcd (int a, int b) {
        if (b == 0)
                return a;
        else
                return gcd (b, a % b);
}
int gcd (int a, int b) {
        return b ? gcd (b, a % b) : a;
}
int gcd (int a, int b) {
        while (b) {
                a %= b;
                swap (a, b);
        }
        return a;
}
int lcm (int a, int b) {
        return a / gcd (a, b) * b;
}

Java solución

borrador automático, revisar antes de enviar 
import java.util.*;
import java.math.*;

public class AlgorithmDraft {
    // Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    int gcd (int a, int b) {
            if (b == 0)
                    return a;
            else
                    return gcd (b, a % b);
    }
    int gcd (int a, int b) {
            return b ? gcd (b, a % b) : a;
    }
    int gcd (int a, int b) {
            while (b) {
                    a %= b;
                    swap (a, b);
            }
            return a;
    }
    int lcm (int a, int b) {
            return a / gcd (a, b) * b;
    }
}

Материал разбит как Algoritmoическая Tarea: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать Algoritmo на выбранном языке.

Vacantes para esta tarea

Se muestran vacantes activas con etiquetas coincidentes.

Todas las vacantes
Todavía no hay vacantes activas.