E003. Euclidean algorithm нахождения НОД (наибольшего общего делителя)

e-maxx algorithm original: C/C++ #algorithm #emaxx #math #number-theory

题目文本会按所选界面语言从俄语翻译；代码保持不变。

Static

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 12.

given два целых неотрицательных числа

и

. it is required find их наибольший общий делитель, т.е. наибольшее

number, которое является делителем одновременно и

, и

. На английском языке "наибольший общий делитель"

пишется "greatest common divisor", и распространённым его обозначением является :

(здесь символом "

" обозначена делимость, т.е. "

" обозначает "

делит

")

Когда оно из чисел равно нулю, а другое отлично от нуля, их наибольшим общим делителем, согласно определению, будет это второе number. Когда оба числа равны нулю, результат не определён (подойдёт любое бесконечно большое number), мы положим в этом случае наибольший общий делитель равным нулю. Поэтому можно говорить о таком правиле: если одно из чисел равно нулю, то их наибольший общий делитель равен второму числу. Euclidean algorithm, рассмотренный ниже, решает задачу нахождения наибольшего общего делителя двух чисел

и

за

. Данный 算法 был впервые описан в книге Евклида "Начала" (около 300 г. до н.э.), хотя, вполне возможно, этот 算法 имеет более раннее происхождение.

算法

Сам 算法 чрезвычайно прост и описывается следующей формулой:

实现

int gcd (int a, int b) {

if (b == 0)

return a;

else

return gcd (b, a % b);

} Используя тернарный условный оператор C++, 算法 можно записать ещё короче:

int gcd (int a, int b) {

return b ? gcd (b, a % b) : a;

} Наконец, приведём и нерекурсивную форму 算法а:

int gcd (int a, int b) {

while (b) {

a %= b;

swap (a, b);

}

return a;

}

正确性证明

Сначала заметим, что при каждой итерации 算法а Евклида его второй аргумент строго убывает, следовательно, посколько он неотрицательный, то Euclidean algorithm всегда завершается.

Для доказательства корректности нам необходимо показать, что

для любых

. Покажем, что величина, стоящая в левой части равенства, делится на настоящую в правой, а стоящая в правой — делится на стоящую в левой. Очевидно, это будет означать, что левая и правая части совпадают, что и докажет корректность 算法а Евклида.

Обозначим

. Тогда, по определению,

и

Далее, разложим остаток от деления

на

через их частное: Но тогда отсюда следует:

Итак, вспоминая утверждение

, получаем систему: Воспользуемся теперь следующим простым фактом: если для каких-то трёх чисел выполнено:

и

,

то выполняется и: . В нашей ситуации получаем:

Или, подставляя вместо

его 定义 как

, получаем: Итак, мы провели половину доказательства: показали, что левая часть делит правую. Вторая половина доказательства производится аналогично.

运行时间

运行时间算法а оценивается теоремой Ламе, которая устанавливает удивительную связь 算法а Евклида и последовательности Фибоначчи:

Если

и

для некоторого

, то Euclidean algorithm выполнит не более

рекурсивных вызовов. Более того, можно показать, что верхняя граница этой теоремы — оптимальная. При

будет выполнено именно

рекурсивных вызова. Иными словами, последовательные

Fibonacci numbers — наихудшие 输入ные данные для 算法а Евклида. given, что Fibonacci numbers растут экспоненциально (как константа в степени

), получаем, что 算法

Евклида выполняется за

операций умножения.

НОК (наименьшее общее кратное)

Вычисление наименьшего общего кратного (least common multiplier, lcm) сводится к вычислению

следующим

простым утверждением: Таким образом, вычисление НОК также можно сделать с помощью 算法а Евклида, с той же асимптотикой:

int lcm (int a, int b) {

return a / gcd (a, b) * b;

}

(здесь выгодно сначала поделить на

, а только потом домножать на

, поскольку это поможет избежать

переполнений в некоторых случаях)

References

● Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. 算法ы: Построение и

анализ [2005]

C# 解法

自动草稿，提交前请检查

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

public static class AlgorithmDraft
{
    // Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    int gcd (int a, int b) {
            if (b == 0)
                    return a;
            else
                    return gcd (b, a % b);
    }
    int gcd (int a, int b) {
            return b ? gcd (b, a % b) : a;
    }
    int gcd (int a, int b) {
            while (b) {
                    a %= b;
                    swap (a, b);
            }
            return a;
    }
    int lcm (int a, int b) {
            return a / gcd (a, b) * b;
    }
}

C++ 解法

匹配/原始

int gcd (int a, int b) {
        if (b == 0)
                return a;
        else
                return gcd (b, a % b);
}
int gcd (int a, int b) {
        return b ? gcd (b, a % b) : a;
}
int gcd (int a, int b) {
        while (b) {
                a %= b;
                swap (a, b);
        }
        return a;
}
int lcm (int a, int b) {
        return a / gcd (a, b) * b;
}

Java 解法

自动草稿，提交前请检查

import java.util.*;
import java.math.*;

public class AlgorithmDraft {
    // Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    int gcd (int a, int b) {
            if (b == 0)
                    return a;
            else
                    return gcd (b, a % b);
    }
    int gcd (int a, int b) {
            return b ? gcd (b, a % b) : a;
    }
    int gcd (int a, int b) {
            while (b) {
                    a %= b;
                    swap (a, b);
            }
            return a;
    }
    int lcm (int a, int b) {
            return a / gcd (a, b) * b;
    }
}

Материал разбит как 算法ическая 题目: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать 算法 на выбранном языке.

Vacancies for this task

活跃职位 with overlapping task tags are 已显示.

所有职位

目前还没有活跃职位。