E034. Bellman-Ford algorithm
Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 107.
Пусть дан ориентированный взвешенный đồ thị
с
vertexми и
рёбрами, и указана некоторая vertex
. it is required find длины кратчайших путей от вершины
до всех остальных вершин. В отличие от Thuật toánа Дейкстры, этот Thuật toán применим также и к đồ thịам, содержащим рёбра отрицательного веса. Впрочем, если đồ thị содержит отрицательный цикл, то, понятно, кратчайшего пути до некоторых вершин может не существовать (по причине того, что вес кратчайшего пути должен быть равен минус бесконечности); впрочем, этот Thuật toán можно модифицировать, чтобы он сигнализировал о наличии цикла отрицательного веса, или даже выводил сам этот цикл. Thuật toán носит имя двух американских учёных: Ричарда Беллмана (Richard Bellman) и Лестера Форда (Lester Ford). Форд фактически изобрёл этот Thuật toán в 1956 г. при изучении другой математической задачи, подBài toán которой свелась к поиску кратчайшего пути в đồ thịе, и Форд дал набросок решающего эту задачу Thuật toánа. Беллман в 1958 г. опубликовал статью, посвящённую конкретно задаче нахождения кратчайшего пути, и в этой статье он чётко сформулировал Thuật toán в том виде, в котором он известен нам сейчас.
Описание Thuật toánа
Мы считаем, что đồ thị не содержит цикла отрицательного веса. Случай наличия отрицательного цикла будет рассмотрен ниже в отдельном разделе.
Заведём mảng расстояний
, который после отработки Thuật toánа будет содержать ответ на задачу. В начале работы мы заполняем его следующим образом:
, а все остальные elementы
равны
бесконечности
. Сам Bellman-Ford algorithm представляет из себя несколько фаз. На каждой фазе просматриваются все рёбра đồ thịа, и Thuật toán пытается произвести релаксацию (relax, ослабление) вдоль каждого ребра
стоимости
. Релаксация вдоль ребра — это попытка улучшить значение
значением
. Фактически это значит, что
мы пытаемся улучшить ответ для вершины
, пользуясь edgeм
и текущим ответом для вершины
.
Утверждается, что достаточно
фазы Thuật toánа, чтобы корректно посчитать длины всех кратчайших путей в đồ thịе (повторимся, мы считаем, что циклы отрицательного веса отсутствуют). Для недостижимых вершин расстояние
останется равным бесконечности
.
Cài đặt
Для Thuật toánа Форда-Беллмана, в отличие от многих других đồ thịовых Thuật toánов, более удобно представлять đồ thị
в виде одного списка всех рёбер (а не
списков рёбер — рёбер из каждой вершины). В приведённой
реализации заводится структура данных
для ребра. Đầu vàoными данными для Thuật toánа являются числа
, список
рёбер, и номер стартовой вершины
. Все номера вершин нумеруются с
по
.
Простейшая Cài đặt
Константа
обозначает number "бесконечность" — её надо подобрать таким образом, чтобы она заведомо превосходила все возможные длины путей.
struct edge {
int a, b, cost;};
int n, m, v;vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, наVí dụ, на экран
} Проверка "if (d[e[j].a] < INF)" нужна, только если đồ thị содержит рёбра отрицательного веса: без такой проверки бы происходили релаксации из вершин, до которых пути ещё не нашли, и появлялись бы некорректные расстояния
вида
,
, и т.д.
Улучшенная Cài đặt
Этот Thuật toán можно несколько ускорить: зачастую ответ находится уже за несколько фаз, а оставшиеся фазы никакой полезной работы не происходит, лишь впустую просматриваются все рёбра. Поэтому будем хранить флаг того, изменилось что-то на текущей фазе или нет, и если на какой-то фазе ничего не произошло, то Thuật toán можно останавливать. (Эта оптимизация не улучшает асимптотику, т.е. на некоторых đồ thịах по-прежнему будут нужны
все
фаза, но значительно ускоряет поведение Thuật toánа "в среднем", т.е. на случайных đồ thịах.) С такой оптимизацией становится вообще ненужным ограничивать вручную number фаз Thuật toánа numberм
— он
сам остановится через нужное number фаз.
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;}
// вывод d, наVí dụ, на экран
}
Восстановление путей
Рассмотрим теперь, как можно модифицировать Bellman-Ford algorithm так, чтобы он не только находил длины кратчайших путей, но и позволял восстанавливать сами кратчайшие пути.
Для этого заведём ещё один mảng
, в котором для каждой вершины будем хранить её "предка", т. е. предпоследнюю вершину в кратчайшем пути, ведущем в неё. В самом деле, đường đi ngắn nhất до какой-то вершины
является кратчайшим путём до какой-то вершины
, к которому приписали в конец вершину
. Заметим, что Bellman-Ford algorithm работает по такой же логике: он, предполагая, что кратчайшее расстояние до одной вершины уже посчитано, пытается улучшить кратчайшее расстояние до другой вершины. Следовательно,
в момент улучшения нам надо просто запоминать в
, из какой вершины это улучшение произошло. Приведём реализацию Форда-Беллмана с восстановлением пути до какой-то заданной вершины :
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
for (;;) {bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;}
if (d[t] == INF)cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
vector<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)cout << path[i] << ' ';
} }
Здесь мы сначала проходимся по предкам, начиная с вершины
, и сохраняем весь пройденный путь в списке
.
В этом списке получается đường đi ngắn nhất от
до
, но в обратном порядке, поэтому мы вызываем
от него
и затем выводим.
Chứng minh Thuật toánа
Во-первых, сразу заметим, что для недостижимых из
вершин Thuật toán отработает корректно: для них метка
так
и останется равной бесконечности (т.к. Bellman-Ford algorithm найдёт какие-то пути до всех достижимых из
вершин, а релаксация во всех остальных vertexх не произойдёт ни разу).
Докажем теперь следующее утверждение: после выполнения
фаз Bellman-Ford algorithm корректно
находит все кратчайшие пути, длина которых (по числу рёбер) не превосходит .
Иными словами, для любой вершины
обозначим через
number рёбер в кратчайшем пути до неё (если таких
путей несколько, можно взять любой). Тогда это утверждение говорит о том, что после
фаз этот đường đi ngắn nhất
будет найден гарантированно.
Chứng minh. Рассмотрим произвольную вершину
, до которой существует путь из стартовой вершины
,
и рассмотрим đường đi ngắn nhất до неё:
. Перед первой фазой đường đi ngắn nhất
до вершины
найден корректно. Во время первой фазы edge
было просмотрено Thuật toánом
Форда-Беллмана, следовательно, расстояние до вершины
было корректно посчитано после первой фазы.
Повторяя эти утверждения
раз, получаем, что после
-й фазы расстояние до вершины
посчитано
корректно, что и требовалось доказать. Последнее, что надо заметить — это то, что любой đường đi ngắn nhất не может иметь более ребра.
Следовательно, Thuật toánу достаточно произвести только
фазу. После этого ни одна релаксация
гарантированно не может завершиться улучшением расстояния до какой-то вершины.
Случай отрицательного цикла
Выше мы везде считали, что отрицательного цикла в đồ thịе нет (уточним, нас интересует отрицательный
цикл, достижимый из стартовой вершины
, а недостижимые циклы ничего в вышеописанном Thuật toánе не меняют). При его наличии возникают дополнительные сложности, связанные с тем, что расстояния до всех вершин на этом цикле, а также расстояния до достижимых из этого цикла вершин не определены — они должны быть равны минус бесконечности. Нетрудно понять, что Bellman-Ford algorithm сможет бесконечно делать релаксации среди всех вершин этого цикла и вершин, достижимых из него. Следовательно, если не ограничивать number фаз numberм
,
то Thuật toán будет работать бесконечно, постоянно улучшая расстояния до этих вершин. Отсюда мы получаем критерий наличия достижимого цикла отрицательного веса: если
после
фазы мы выполним ещё одну фазу, и на ней произойдёт хотя бы одна релаксация, то đồ thị содержит
цикл отрицательного веса, достижимый из
; в противном случае, такого цикла нет. Более того, если такой цикл обнаружился, то Bellman-Ford algorithm можно модифицировать таким образом, чтобы он выводил сам этот цикл в виде последовательности вершин, Đầu vàoящих в него. Для этого достаточно запомнить
номер вершины
, в которой произошла релаксация на
-ой фазе. Эта vertex будет либо лежать на
цикле отрицательного веса, либо она достижима из него. Чтобы получить вершину, которая гарантированно лежит
на цикле, достаточно, наVí dụ,
раз пройти по предкам, начиная от вершины
. Получив номер
вершины,
лежащей на цикле, надо пройтись от этой вершины по предкам, пока мы не вернёмся в эту же вершину
(а
это обязательно произойдёт, потому что релаксации в цикле отрицательного веса происходят по кругу). Cài đặt:
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
int x;for (int i=0; i<n; ++i) {x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
} }
if (x == -1)cout << "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;for (int i=0; i<n; ++i)y = p[y];
vector<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;}
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)cout << path[i] << ' ';
} }
Поскольку при наличии отрицательного цикла за
итераций Thuật toánа расстояния могли уйти далеко в минус (по
всей видимости, до отрицательных чисел порядка
), в коде приняты дополнительные меры против
такого целочисленного переполнения:
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
В приведённой выше реализации ищется отрицательный цикл, достижимый из некоторой стартовой вершины
;
однако Thuật toán можно модифицировать, чтобы он искал просто любой отрицательный цикл в đồ thịе.
Для этого надо положить все расстояния
равными нулю, а не бесконечности — так, как будто бы мы
ищем đường đi ngắn nhất изо всех вершин одновременно; на корректность обнаружения отрицательного цикла это не повлияет. Дополнительно на тему этой задачи — см. отдельную статью "Поиск отрицательного цикла в đồ thịе".
Задачи в online judges
Список задач, которые можно решить с помощью Thuật toánа Форда-Беллмана:
● E-OLIMP #1453 "Форд-Беллман" [Complexity: низкая]
● UVA #423 "MPI Maelstrom" [Complexity: низкая]
● UVA #534 "Frogger" [Complexity: средняя]
● UVA #10099 "The Tourist Guide" [Complexity: средняя]
● UVA #515 "King" [Complexity: средняя]
См. также список задач в статье "Поиск отрицательного цикла".
C# lời giải
bản nháp tự động, xem lại trước khi gửiusing System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
public static class AlgorithmDraft
{
// Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
struct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
List<int> p (n, -1);
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
Console.WriteLine( "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
List<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
Console.WriteLine( "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
Console.WriteLine( path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
List<int> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
Console.WriteLine( "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
List<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
Console.WriteLine( "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
Console.WriteLine( path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
}C++ lời giải
đã khớp/gốcstruct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
vector<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
cout << path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
cout << "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
vector<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
cout << path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);Java lời giải
bản nháp tự động, xem lại trước khi gửiimport java.util.*;
import java.math.*;
public class AlgorithmDraft {
// Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
struct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
boolean any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
ArrayList<Integer> p (n, -1);
for (;;) {
boolean any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
System.out.println( "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
ArrayList<Integer> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
System.out.println( "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
System.out.println( path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
ArrayList<Integer> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
System.out.println( "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
ArrayList<Integer> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
System.out.println( "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
System.out.println( path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
}Материал разбит как Thuật toánическая Bài toán: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать Thuật toán на выбранном языке.
Vacancies for this task
việc làm đang hoạt động with overlapping task tags are đã hiển thị.