E034. Bellman-Ford algorithm
Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 107.
Пусть дан ориентированный взвешенный grafo
с
vertexми и
рёбрами, и указана некоторая vertex
. it is required find длины кратчайших путей от вершины
до всех остальных вершин. В отличие от Algoritmoа Дейкстры, этот Algoritmo применим также и к grafoам, содержащим рёбра отрицательного веса. Впрочем, если grafo содержит отрицательный цикл, то, понятно, кратчайшего пути до некоторых вершин может не существовать (по причине того, что вес кратчайшего пути должен быть равен минус бесконечности); впрочем, этот Algoritmo можно модифицировать, чтобы он сигнализировал о наличии цикла отрицательного веса, или даже выводил сам этот цикл. Algoritmo носит имя двух американских учёных: Ричарда Беллмана (Richard Bellman) и Лестера Форда (Lester Ford). Форд фактически изобрёл этот Algoritmo в 1956 г. при изучении другой математической задачи, подTarefa которой свелась к поиску кратчайшего пути в grafoе, и Форд дал набросок решающего эту задачу Algoritmoа. Беллман в 1958 г. опубликовал статью, посвящённую конкретно задаче нахождения кратчайшего пути, и в этой статье он чётко сформулировал Algoritmo в том виде, в котором он известен нам сейчас.
Описание Algoritmoа
Мы считаем, что grafo не содержит цикла отрицательного веса. Случай наличия отрицательного цикла будет рассмотрен ниже в отдельном разделе.
Заведём array расстояний
, который после отработки Algoritmoа будет содержать ответ на задачу. В начале работы мы заполняем его следующим образом:
, а все остальные elementы
равны
бесконечности
. Сам Bellman-Ford algorithm представляет из себя несколько фаз. На каждой фазе просматриваются все рёбра grafoа, и Algoritmo пытается произвести релаксацию (relax, ослабление) вдоль каждого ребра
стоимости
. Релаксация вдоль ребра — это попытка улучшить значение
значением
. Фактически это значит, что
мы пытаемся улучшить ответ для вершины
, пользуясь edgeм
и текущим ответом для вершины
.
Утверждается, что достаточно
фазы Algoritmoа, чтобы корректно посчитать длины всех кратчайших путей в grafoе (повторимся, мы считаем, что циклы отрицательного веса отсутствуют). Для недостижимых вершин расстояние
останется равным бесконечности
.
Implementação
Для Algoritmoа Форда-Беллмана, в отличие от многих других grafoовых Algoritmoов, более удобно представлять grafo
в виде одного списка всех рёбер (а не
списков рёбер — рёбер из каждой вершины). В приведённой
реализации заводится структура данных
для ребра. Entradaными данными для Algoritmoа являются числа
, список
рёбер, и номер стартовой вершины
. Все номера вершин нумеруются с
по
.
Простейшая Implementação
Константа
обозначает number "бесконечность" — её надо подобрать таким образом, чтобы она заведомо превосходила все возможные длины путей.
struct edge {
int a, b, cost;};
int n, m, v;vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, наExemplo, на экран
} Проверка "if (d[e[j].a] < INF)" нужна, только если grafo содержит рёбра отрицательного веса: без такой проверки бы происходили релаксации из вершин, до которых пути ещё не нашли, и появлялись бы некорректные расстояния
вида
,
, и т.д.
Улучшенная Implementação
Этот Algoritmo можно несколько ускорить: зачастую ответ находится уже за несколько фаз, а оставшиеся фазы никакой полезной работы не происходит, лишь впустую просматриваются все рёбра. Поэтому будем хранить флаг того, изменилось что-то на текущей фазе или нет, и если на какой-то фазе ничего не произошло, то Algoritmo можно останавливать. (Эта оптимизация не улучшает асимптотику, т.е. на некоторых grafoах по-прежнему будут нужны
все
фаза, но значительно ускоряет поведение Algoritmoа "в среднем", т.е. на случайных grafoах.) С такой оптимизацией становится вообще ненужным ограничивать вручную number фаз Algoritmoа numberм
— он
сам остановится через нужное number фаз.
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;}
// вывод d, наExemplo, на экран
}
Восстановление путей
Рассмотрим теперь, как можно модифицировать Bellman-Ford algorithm так, чтобы он не только находил длины кратчайших путей, но и позволял восстанавливать сами кратчайшие пути.
Для этого заведём ещё один array
, в котором для каждой вершины будем хранить её "предка", т. е. предпоследнюю вершину в кратчайшем пути, ведущем в неё. В самом деле, caminho mais curto до какой-то вершины
является кратчайшим путём до какой-то вершины
, к которому приписали в конец вершину
. Заметим, что Bellman-Ford algorithm работает по такой же логике: он, предполагая, что кратчайшее расстояние до одной вершины уже посчитано, пытается улучшить кратчайшее расстояние до другой вершины. Следовательно,
в момент улучшения нам надо просто запоминать в
, из какой вершины это улучшение произошло. Приведём реализацию Форда-Беллмана с восстановлением пути до какой-то заданной вершины :
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
for (;;) {bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;}
if (d[t] == INF)cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
vector<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)cout << path[i] << ' ';
} }
Здесь мы сначала проходимся по предкам, начиная с вершины
, и сохраняем весь пройденный путь в списке
.
В этом списке получается caminho mais curto от
до
, но в обратном порядке, поэтому мы вызываем
от него
и затем выводим.
Prova Algoritmoа
Во-первых, сразу заметим, что для недостижимых из
вершин Algoritmo отработает корректно: для них метка
так
и останется равной бесконечности (т.к. Bellman-Ford algorithm найдёт какие-то пути до всех достижимых из
вершин, а релаксация во всех остальных vertexх не произойдёт ни разу).
Докажем теперь следующее утверждение: после выполнения
фаз Bellman-Ford algorithm корректно
находит все кратчайшие пути, длина которых (по числу рёбер) не превосходит .
Иными словами, для любой вершины
обозначим через
number рёбер в кратчайшем пути до неё (если таких
путей несколько, можно взять любой). Тогда это утверждение говорит о том, что после
фаз этот caminho mais curto
будет найден гарантированно.
Prova. Рассмотрим произвольную вершину
, до которой существует путь из стартовой вершины
,
и рассмотрим caminho mais curto до неё:
. Перед первой фазой caminho mais curto
до вершины
найден корректно. Во время первой фазы edge
было просмотрено Algoritmoом
Форда-Беллмана, следовательно, расстояние до вершины
было корректно посчитано после первой фазы.
Повторяя эти утверждения
раз, получаем, что после
-й фазы расстояние до вершины
посчитано
корректно, что и требовалось доказать. Последнее, что надо заметить — это то, что любой caminho mais curto не может иметь более ребра.
Следовательно, Algoritmoу достаточно произвести только
фазу. После этого ни одна релаксация
гарантированно не может завершиться улучшением расстояния до какой-то вершины.
Случай отрицательного цикла
Выше мы везде считали, что отрицательного цикла в grafoе нет (уточним, нас интересует отрицательный
цикл, достижимый из стартовой вершины
, а недостижимые циклы ничего в вышеописанном Algoritmoе не меняют). При его наличии возникают дополнительные сложности, связанные с тем, что расстояния до всех вершин на этом цикле, а также расстояния до достижимых из этого цикла вершин не определены — они должны быть равны минус бесконечности. Нетрудно понять, что Bellman-Ford algorithm сможет бесконечно делать релаксации среди всех вершин этого цикла и вершин, достижимых из него. Следовательно, если не ограничивать number фаз numberм
,
то Algoritmo будет работать бесконечно, постоянно улучшая расстояния до этих вершин. Отсюда мы получаем критерий наличия достижимого цикла отрицательного веса: если
после
фазы мы выполним ещё одну фазу, и на ней произойдёт хотя бы одна релаксация, то grafo содержит
цикл отрицательного веса, достижимый из
; в противном случае, такого цикла нет. Более того, если такой цикл обнаружился, то Bellman-Ford algorithm можно модифицировать таким образом, чтобы он выводил сам этот цикл в виде последовательности вершин, Entradaящих в него. Для этого достаточно запомнить
номер вершины
, в которой произошла релаксация на
-ой фазе. Эта vertex будет либо лежать на
цикле отрицательного веса, либо она достижима из него. Чтобы получить вершину, которая гарантированно лежит
на цикле, достаточно, наExemplo,
раз пройти по предкам, начиная от вершины
. Получив номер
вершины,
лежащей на цикле, надо пройтись от этой вершины по предкам, пока мы не вернёмся в эту же вершину
(а
это обязательно произойдёт, потому что релаксации в цикле отрицательного веса происходят по кругу). Implementação:
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
int x;for (int i=0; i<n; ++i) {x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
} }
if (x == -1)cout << "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;for (int i=0; i<n; ++i)y = p[y];
vector<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;}
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)cout << path[i] << ' ';
} }
Поскольку при наличии отрицательного цикла за
итераций Algoritmoа расстояния могли уйти далеко в минус (по
всей видимости, до отрицательных чисел порядка
), в коде приняты дополнительные меры против
такого целочисленного переполнения:
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
В приведённой выше реализации ищется отрицательный цикл, достижимый из некоторой стартовой вершины
;
однако Algoritmo можно модифицировать, чтобы он искал просто любой отрицательный цикл в grafoе.
Для этого надо положить все расстояния
равными нулю, а не бесконечности — так, как будто бы мы
ищем caminho mais curto изо всех вершин одновременно; на корректность обнаружения отрицательного цикла это не повлияет. Дополнительно на тему этой задачи — см. отдельную статью "Поиск отрицательного цикла в grafoе".
Задачи в online judges
Список задач, которые можно решить с помощью Algoritmoа Форда-Беллмана:
● E-OLIMP #1453 "Форд-Беллман" [Complexity: низкая]
● UVA #423 "MPI Maelstrom" [Complexity: низкая]
● UVA #534 "Frogger" [Complexity: средняя]
● UVA #10099 "The Tourist Guide" [Complexity: средняя]
● UVA #515 "King" [Complexity: средняя]
См. также список задач в статье "Поиск отрицательного цикла".
C# solução
rascunho automático, revisar antes de enviarusing System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
public static class AlgorithmDraft
{
// Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
struct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
List<int> p (n, -1);
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
Console.WriteLine( "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
List<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
Console.WriteLine( "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
Console.WriteLine( path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
List<int> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
Console.WriteLine( "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
List<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
Console.WriteLine( "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
Console.WriteLine( path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
}C++ solução
correspondente/originalstruct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
vector<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
cout << path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
cout << "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
vector<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
cout << path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);Java solução
rascunho automático, revisar antes de enviarimport java.util.*;
import java.math.*;
public class AlgorithmDraft {
// Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
struct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
boolean any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
ArrayList<Integer> p (n, -1);
for (;;) {
boolean any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
System.out.println( "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
ArrayList<Integer> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
System.out.println( "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
System.out.println( path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
ArrayList<Integer> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
System.out.println( "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
ArrayList<Integer> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
System.out.println( "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
System.out.println( path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
}Материал разбит как Algoritmoическая Tarefa: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать Algoritmo на выбранном языке.
Vacancies for this task
vagas ativas with overlapping task tags are mostradas.