E034. Bellman-Ford algorithm
Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 107.
Пусть дан ориентированный взвешенный 그래프
с
vertexми и
рёбрами, и указана некоторая vertex
. it is required find длины кратчайших путей от вершины
до всех остальных вершин. В отличие от 알고리즘а Дейкстры, этот 알고리즘 применим также и к 그래프ам, содержащим рёбра отрицательного веса. Впрочем, если 그래프 содержит отрицательный цикл, то, понятно, кратчайшего пути до некоторых вершин может не существовать (по причине того, что вес кратчайшего пути должен быть равен минус бесконечности); впрочем, этот 알고리즘 можно модифицировать, чтобы он сигнализировал о наличии цикла отрицательного веса, или даже выводил сам этот цикл. 알고리즘 носит имя двух американских учёных: Ричарда Беллмана (Richard Bellman) и Лестера Форда (Lester Ford). Форд фактически изобрёл этот 알고리즘 в 1956 г. при изучении другой математической задачи, под문제 которой свелась к поиску кратчайшего пути в 그래프е, и Форд дал набросок решающего эту задачу 알고리즘а. Беллман в 1958 г. опубликовал статью, посвящённую конкретно задаче нахождения кратчайшего пути, и в этой статье он чётко сформулировал 알고리즘 в том виде, в котором он известен нам сейчас.
Описание 알고리즘а
Мы считаем, что 그래프 не содержит цикла отрицательного веса. Случай наличия отрицательного цикла будет рассмотрен ниже в отдельном разделе.
Заведём 배열 расстояний
, который после отработки 알고리즘а будет содержать ответ на задачу. В начале работы мы заполняем его следующим образом:
, а все остальные elementы
равны
бесконечности
. Сам Bellman-Ford algorithm представляет из себя несколько фаз. На каждой фазе просматриваются все рёбра 그래프а, и 알고리즘 пытается произвести релаксацию (relax, ослабление) вдоль каждого ребра
стоимости
. Релаксация вдоль ребра — это попытка улучшить значение
значением
. Фактически это значит, что
мы пытаемся улучшить ответ для вершины
, пользуясь edgeм
и текущим ответом для вершины
.
Утверждается, что достаточно
фазы 알고리즘а, чтобы корректно посчитать длины всех кратчайших путей в 그래프е (повторимся, мы считаем, что циклы отрицательного веса отсутствуют). Для недостижимых вершин расстояние
останется равным бесконечности
.
구현
Для 알고리즘а Форда-Беллмана, в отличие от многих других 그래프овых 알고리즘ов, более удобно представлять 그래프
в виде одного списка всех рёбер (а не
списков рёбер — рёбер из каждой вершины). В приведённой
реализации заводится структура данных
для ребра. 입력ными данными для 알고리즘а являются числа
, список
рёбер, и номер стартовой вершины
. Все номера вершин нумеруются с
по
.
Простейшая 구현
Константа
обозначает number "бесконечность" — её надо подобрать таким образом, чтобы она заведомо превосходила все возможные длины путей.
struct edge {
int a, b, cost;};
int n, m, v;vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, на예제, на экран
} Проверка "if (d[e[j].a] < INF)" нужна, только если 그래프 содержит рёбра отрицательного веса: без такой проверки бы происходили релаксации из вершин, до которых пути ещё не нашли, и появлялись бы некорректные расстояния
вида
,
, и т.д.
Улучшенная 구현
Этот 알고리즘 можно несколько ускорить: зачастую ответ находится уже за несколько фаз, а оставшиеся фазы никакой полезной работы не происходит, лишь впустую просматриваются все рёбра. Поэтому будем хранить флаг того, изменилось что-то на текущей фазе или нет, и если на какой-то фазе ничего не произошло, то 알고리즘 можно останавливать. (Эта оптимизация не улучшает асимптотику, т.е. на некоторых 그래프ах по-прежнему будут нужны
все
фаза, но значительно ускоряет поведение 알고리즘а "в среднем", т.е. на случайных 그래프ах.) С такой оптимизацией становится вообще ненужным ограничивать вручную number фаз 알고리즘а numberм
— он
сам остановится через нужное number фаз.
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;}
// вывод d, на예제, на экран
}
Восстановление путей
Рассмотрим теперь, как можно модифицировать Bellman-Ford algorithm так, чтобы он не только находил длины кратчайших путей, но и позволял восстанавливать сами кратчайшие пути.
Для этого заведём ещё один 배열
, в котором для каждой вершины будем хранить её "предка", т. е. предпоследнюю вершину в кратчайшем пути, ведущем в неё. В самом деле, 최단 경로 до какой-то вершины
является кратчайшим путём до какой-то вершины
, к которому приписали в конец вершину
. Заметим, что Bellman-Ford algorithm работает по такой же логике: он, предполагая, что кратчайшее расстояние до одной вершины уже посчитано, пытается улучшить кратчайшее расстояние до другой вершины. Следовательно,
в момент улучшения нам надо просто запоминать в
, из какой вершины это улучшение произошло. Приведём реализацию Форда-Беллмана с восстановлением пути до какой-то заданной вершины :
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
for (;;) {bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;}
if (d[t] == INF)cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
vector<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)cout << path[i] << ' ';
} }
Здесь мы сначала проходимся по предкам, начиная с вершины
, и сохраняем весь пройденный путь в списке
.
В этом списке получается 최단 경로 от
до
, но в обратном порядке, поэтому мы вызываем
от него
и затем выводим.
증명 알고리즘а
Во-первых, сразу заметим, что для недостижимых из
вершин 알고리즘 отработает корректно: для них метка
так
и останется равной бесконечности (т.к. Bellman-Ford algorithm найдёт какие-то пути до всех достижимых из
вершин, а релаксация во всех остальных vertexх не произойдёт ни разу).
Докажем теперь следующее утверждение: после выполнения
фаз Bellman-Ford algorithm корректно
находит все кратчайшие пути, длина которых (по числу рёбер) не превосходит .
Иными словами, для любой вершины
обозначим через
number рёбер в кратчайшем пути до неё (если таких
путей несколько, можно взять любой). Тогда это утверждение говорит о том, что после
фаз этот 최단 경로
будет найден гарантированно.
증명. Рассмотрим произвольную вершину
, до которой существует путь из стартовой вершины
,
и рассмотрим 최단 경로 до неё:
. Перед первой фазой 최단 경로
до вершины
найден корректно. Во время первой фазы edge
было просмотрено 알고리즘ом
Форда-Беллмана, следовательно, расстояние до вершины
было корректно посчитано после первой фазы.
Повторяя эти утверждения
раз, получаем, что после
-й фазы расстояние до вершины
посчитано
корректно, что и требовалось доказать. Последнее, что надо заметить — это то, что любой 최단 경로 не может иметь более ребра.
Следовательно, 알고리즘у достаточно произвести только
фазу. После этого ни одна релаксация
гарантированно не может завершиться улучшением расстояния до какой-то вершины.
Случай отрицательного цикла
Выше мы везде считали, что отрицательного цикла в 그래프е нет (уточним, нас интересует отрицательный
цикл, достижимый из стартовой вершины
, а недостижимые циклы ничего в вышеописанном 알고리즘е не меняют). При его наличии возникают дополнительные сложности, связанные с тем, что расстояния до всех вершин на этом цикле, а также расстояния до достижимых из этого цикла вершин не определены — они должны быть равны минус бесконечности. Нетрудно понять, что Bellman-Ford algorithm сможет бесконечно делать релаксации среди всех вершин этого цикла и вершин, достижимых из него. Следовательно, если не ограничивать number фаз numberм
,
то 알고리즘 будет работать бесконечно, постоянно улучшая расстояния до этих вершин. Отсюда мы получаем критерий наличия достижимого цикла отрицательного веса: если
после
фазы мы выполним ещё одну фазу, и на ней произойдёт хотя бы одна релаксация, то 그래프 содержит
цикл отрицательного веса, достижимый из
; в противном случае, такого цикла нет. Более того, если такой цикл обнаружился, то Bellman-Ford algorithm можно модифицировать таким образом, чтобы он выводил сам этот цикл в виде последовательности вершин, 입력ящих в него. Для этого достаточно запомнить
номер вершины
, в которой произошла релаксация на
-ой фазе. Эта vertex будет либо лежать на
цикле отрицательного веса, либо она достижима из него. Чтобы получить вершину, которая гарантированно лежит
на цикле, достаточно, на예제,
раз пройти по предкам, начиная от вершины
. Получив номер
вершины,
лежащей на цикле, надо пройтись от этой вершины по предкам, пока мы не вернёмся в эту же вершину
(а
это обязательно произойдёт, потому что релаксации в цикле отрицательного веса происходят по кругу). 구현:
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
int x;for (int i=0; i<n; ++i) {x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
} }
if (x == -1)cout << "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;for (int i=0; i<n; ++i)y = p[y];
vector<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;}
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)cout << path[i] << ' ';
} }
Поскольку при наличии отрицательного цикла за
итераций 알고리즘а расстояния могли уйти далеко в минус (по
всей видимости, до отрицательных чисел порядка
), в коде приняты дополнительные меры против
такого целочисленного переполнения:
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
В приведённой выше реализации ищется отрицательный цикл, достижимый из некоторой стартовой вершины
;
однако 알고리즘 можно модифицировать, чтобы он искал просто любой отрицательный цикл в 그래프е.
Для этого надо положить все расстояния
равными нулю, а не бесконечности — так, как будто бы мы
ищем 최단 경로 изо всех вершин одновременно; на корректность обнаружения отрицательного цикла это не повлияет. Дополнительно на тему этой задачи — см. отдельную статью "Поиск отрицательного цикла в 그래프е".
Задачи в online judges
Список задач, которые можно решить с помощью 알고리즘а Форда-Беллмана:
● E-OLIMP #1453 "Форд-Беллман" [Complexity: низкая]
● UVA #423 "MPI Maelstrom" [Complexity: низкая]
● UVA #534 "Frogger" [Complexity: средняя]
● UVA #10099 "The Tourist Guide" [Complexity: средняя]
● UVA #515 "King" [Complexity: средняя]
См. также список задач в статье "Поиск отрицательного цикла".
C# 해법
자동 초안, 제출 전 검토using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
public static class AlgorithmDraft
{
// Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
struct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
List<int> p (n, -1);
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
Console.WriteLine( "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
List<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
Console.WriteLine( "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
Console.WriteLine( path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
List<int> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
Console.WriteLine( "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
List<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
Console.WriteLine( "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
Console.WriteLine( path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
}C++ 해법
매칭됨/원본struct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
vector<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
cout << path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
cout << "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
vector<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
cout << path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);Java 해법
자동 초안, 제출 전 검토import java.util.*;
import java.math.*;
public class AlgorithmDraft {
// Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
struct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
boolean any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
ArrayList<Integer> p (n, -1);
for (;;) {
boolean any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
System.out.println( "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
ArrayList<Integer> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
System.out.println( "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
System.out.println( path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
ArrayList<Integer> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
System.out.println( "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
ArrayList<Integer> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
System.out.println( "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
System.out.println( path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
}Материал разбит как 알고리즘ическая 문제: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать 알고리즘 на выбранном языке.
Vacancies for this task
활성 채용 with overlapping task tags are 표시됨.