E126. Нахождение ранга матрицы

e-maxx algorithm original: C/C++ #algorithm #emaxx #linear-algebra #math #matrix

選択した UI 言語に合わせて問題文をロシア語から翻訳します。コードは変更しません。

Static

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 415.

Ранг матрицы - это наибольшее number линейно независимых строк/столбцов матрицы. Ранг определён не только для квадратных матриц; пусть матрица прямоугольна и имеет размер NxM. Также ранг матрицы можно определить как наибольший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля. Заметим, что если матрица квадратная и её определитель отличен от нуля, то ранг равен N(=M), иначе он будет меньше. В общем случае, ранг матрицы не превосходит min(N,M).

アルゴリズム

Искать ранг можно с помощью модифицированного метода Гаусса. Будем выполнять абсолютно те же самые операции, что и при решении системы или нахождении её определителя, но если на каком-либо шаге в i-ом столбце среди невыбранных до этого строк нет ненулевых, то мы этот шаг пропускаем, а ранг уменьшаем на единицу (изначально ранг полагаем равным max(N,M)). Иначе, если мы нашли на i-ом шаге строку с ненулевым elementом в i- ом столбце, то помечаем эту строку как выбранную, и выполняем обычные операции отнимания этой строки от остальных.

実装

const double EPS = 1E-9;

int rank = max(n,m);

vector<char> line_used (n);

for (int i=0; i<m; ++i) {

int j;

for (j=0; j<n; ++j)

if (!line_used[j] && abs(a[j][i]) > EPS)

break;

if (j == n)

--rank;

else {

line_used[j] = true;

for (int p=i+1; p<m; ++p)

a[j][p] /= a[j][i];

for (int k=0; k<n; ++k)

if (k != j && abs (a[k][i]) > EPS)

for (int p=i+1; p<m; ++p)

a[k][p] -= a[j][p] * a[k][i];

} }

Вычисление определителя матрицы методом Гаусса

Пусть дана квадратная матрица A размером NxN. it is required вычислить её определитель.

アルゴリズム

Воспользуемся идеями метода Гаусса решения систем линейных уравнений. Будем выполнять те же самые действия, что и при решении системы линейных уравнений, исключив только деление текущей строки на a[i][i] (точнее, само деление можно выполнять, но подразумевая, что number выносится за знак определителя). Тогда все операции, которые мы будем производить с матрицей, не будут изменять величину определителя матрицы, за исключением, быть может, знака (мы только обмениваем местами две строки, что меняет знак на противоположный, или прибавляем одну строку к другой, что не меняет величину определителя). Но матрица, к которой мы приходим после выполнения アルゴリズムа Гаусса, является диагональной, и определитель её равен произведению elementов, стоящих на диагонали. Знак, как уже говорилось, будет определяться количеством обменов строк (если их нечётное, то знак определителя следует изменить на противоположный). Таким образом, мы можем с помощью アルゴリズムа Гаусса вычислять определитель матрицы за O (N3). Осталось только заметить, что если в какой-то момент мы не найдём в текущем столбце ненулевого elementа, то アルゴリズム следует остановить и вернуть 0.

実装

const double EPS = 1E-9;

int n;

vector < vector<double> > a (n, vector<double> (n));

... чтение n и a ...

double det = 1;

for (int i=0; i<n; ++i) {

int k = i;

for (int j=i+1; j<n; ++j)

if (abs (a[j][i]) > abs (a[k][i]))

k = j;

if (abs (a[k][i]) < EPS) {

det = 0;

break;

}

swap (a[i], a[k]);

if (i != k)

det = -det;

det *= a[i][i];

for (int j=i+1; j<n; ++j)

a[i][j] /= a[i][i];

for (int j=0; j<n; ++j)

if (j != i && abs (a[j][i]) > EPS)

for (int k=i+1; k<n; ++k)

a[j][k] -= a[i][k] * a[j][i];

}

cout << det;

C# 解法

自動ドラフト、提出前に確認

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

public static class AlgorithmDraft
{
    // Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    const double EPS = 1E-9;
    int rank = max(n,m);
    List<char> line_used (n);
    for (int i=0; i<m; ++i) {
            int j;
            for (j=0; j<n; ++j)
                    if (!line_used[j] && abs(a[j][i]) > EPS)
                            break;
            if (j == n)
                    --rank;
            else {
                    line_used[j] = true;
                    for (int p=i+1; p<m; ++p)
                            a[j][p] /= a[j][i];
                    for (int k=0; k<n; ++k)
                            if (k != j && abs (a[k][i]) > EPS)
                                    for (int p=i+1; p<m; ++p)
                                            a[k][p] -= a[j][p] * a[k][i];
            }
    }
    const double EPS = 1E-9;
    int n;
    vector < vector<double> > a (n, vector<double> (n));
    ... чтение n и a ...
    double det = 1;
    for (int i=0; i<n; ++i) {
            int k = i;
            for (int j=i+1; j<n; ++j)
                    if (abs (a[j][i]) > abs (a[k][i]))
                            k = j;
            if (abs (a[k][i]) < EPS) {
                    det = 0;
                    break;
            }
            swap (a[i], a[k]);
            if (i != k)
                    det = -det;
            det *= a[i][i];
            for (int j=i+1; j<n; ++j)
                    a[i][j] /= a[i][i];
            for (int j=0; j<n; ++j)
                    if (j != i && abs (a[j][i]) > EPS)
                            for (int k=i+1; k<n; ++k)
                                    a[j][k] -= a[i][k] * a[j][i];
    }
    Console.WriteLine( det;
}

C++ 解法

照合済み/オリジナル

const double EPS = 1E-9;
int rank = max(n,m);
vector<char> line_used (n);
for (int i=0; i<m; ++i) {
        int j;
        for (j=0; j<n; ++j)
                if (!line_used[j] && abs(a[j][i]) > EPS)
                        break;
        if (j == n)
                --rank;
        else {
                line_used[j] = true;
                for (int p=i+1; p<m; ++p)
                        a[j][p] /= a[j][i];
                for (int k=0; k<n; ++k)
                        if (k != j && abs (a[k][i]) > EPS)
                                for (int p=i+1; p<m; ++p)
                                        a[k][p] -= a[j][p] * a[k][i];
        }
}
const double EPS = 1E-9;
int n;
vector < vector<double> > a (n, vector<double> (n));
... чтение n и a ...
double det = 1;
for (int i=0; i<n; ++i) {
        int k = i;
        for (int j=i+1; j<n; ++j)
                if (abs (a[j][i]) > abs (a[k][i]))
                        k = j;
        if (abs (a[k][i]) < EPS) {
                det = 0;
                break;
        }
        swap (a[i], a[k]);
        if (i != k)
                det = -det;
        det *= a[i][i];
        for (int j=i+1; j<n; ++j)
                a[i][j] /= a[i][i];
        for (int j=0; j<n; ++j)
                if (j != i && abs (a[j][i]) > EPS)
                        for (int k=i+1; k<n; ++k)
                                a[j][k] -= a[i][k] * a[j][i];
}
cout << det;

Java 解法

自動ドラフト、提出前に確認

import java.util.*;
import java.math.*;

public class AlgorithmDraft {
    // Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    const double EPS = 1E-9;
    int rank = max(n,m);
    ArrayList<Character> line_used (n);
    for (int i=0; i<m; ++i) {
            int j;
            for (j=0; j<n; ++j)
                    if (!line_used[j] && abs(a[j][i]) > EPS)
                            break;
            if (j == n)
                    --rank;
            else {
                    line_used[j] = true;
                    for (int p=i+1; p<m; ++p)
                            a[j][p] /= a[j][i];
                    for (int k=0; k<n; ++k)
                            if (k != j && abs (a[k][i]) > EPS)
                                    for (int p=i+1; p<m; ++p)
                                            a[k][p] -= a[j][p] * a[k][i];
            }
    }
    const double EPS = 1E-9;
    int n;
    vector < vector<double> > a (n, vector<double> (n));
    ... чтение n и a ...
    double det = 1;
    for (int i=0; i<n; ++i) {
            int k = i;
            for (int j=i+1; j<n; ++j)
                    if (abs (a[j][i]) > abs (a[k][i]))
                            k = j;
            if (abs (a[k][i]) < EPS) {
                    det = 0;
                    break;
            }
            swap (a[i], a[k]);
            if (i != k)
                    det = -det;
            det *= a[i][i];
            for (int j=i+1; j<n; ++j)
                    a[i][j] /= a[i][i];
            for (int j=0; j<n; ++j)
                    if (j != i && abs (a[j][i]) > EPS)
                            for (int k=i+1; k<n; ++k)
                                    a[j][k] -= a[i][k] * a[j][i];
    }
    System.out.println( det;
}

Материал разбит как アルゴリズムическая 問題: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать アルゴリズム на выбранном языке.

Vacancies for this task

有効な求人 with overlapping task tags are 表示.

すべての求人

有効な求人はまだありません。