E034. Bellman-Ford algorithm
Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 107.
Пусть дан ориентированный взвешенный グラフ
с
vertexми и
рёбрами, и указана некоторая vertex
. it is required find длины кратчайших путей от вершины
до всех остальных вершин. В отличие от アルゴリズムа Дейкстры, этот アルゴリズム применим также и к グラフам, содержащим рёбра отрицательного веса. Впрочем, если グラフ содержит отрицательный цикл, то, понятно, кратчайшего пути до некоторых вершин может не существовать (по причине того, что вес кратчайшего пути должен быть равен минус бесконечности); впрочем, этот アルゴリズム можно модифицировать, чтобы он сигнализировал о наличии цикла отрицательного веса, или даже выводил сам этот цикл. アルゴリズム носит имя двух американских учёных: Ричарда Беллмана (Richard Bellman) и Лестера Форда (Lester Ford). Форд фактически изобрёл этот アルゴリズム в 1956 г. при изучении другой математической задачи, под問題 которой свелась к поиску кратчайшего пути в グラフе, и Форд дал набросок решающего эту задачу アルゴリズムа. Беллман в 1958 г. опубликовал статью, посвящённую конкретно задаче нахождения кратчайшего пути, и в этой статье он чётко сформулировал アルゴリズム в том виде, в котором он известен нам сейчас.
Описание アルゴリズムа
Мы считаем, что グラフ не содержит цикла отрицательного веса. Случай наличия отрицательного цикла будет рассмотрен ниже в отдельном разделе.
Заведём 配列 расстояний
, который после отработки アルゴリズムа будет содержать ответ на задачу. В начале работы мы заполняем его следующим образом:
, а все остальные elementы
равны
бесконечности
. Сам Bellman-Ford algorithm представляет из себя несколько фаз. На каждой фазе просматриваются все рёбра グラフа, и アルゴリズム пытается произвести релаксацию (relax, ослабление) вдоль каждого ребра
стоимости
. Релаксация вдоль ребра — это попытка улучшить значение
значением
. Фактически это значит, что
мы пытаемся улучшить ответ для вершины
, пользуясь edgeм
и текущим ответом для вершины
.
Утверждается, что достаточно
фазы アルゴリズムа, чтобы корректно посчитать длины всех кратчайших путей в グラフе (повторимся, мы считаем, что циклы отрицательного веса отсутствуют). Для недостижимых вершин расстояние
останется равным бесконечности
.
実装
Для アルゴリズムа Форда-Беллмана, в отличие от многих других グラフовых アルゴリズムов, более удобно представлять グラフ
в виде одного списка всех рёбер (а не
списков рёбер — рёбер из каждой вершины). В приведённой
реализации заводится структура данных
для ребра. 入力ными данными для アルゴリズムа являются числа
, список
рёбер, и номер стартовой вершины
. Все номера вершин нумеруются с
по
.
Простейшая 実装
Константа
обозначает number "бесконечность" — её надо подобрать таким образом, чтобы она заведомо превосходила все возможные длины путей.
struct edge {
int a, b, cost;};
int n, m, v;vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, на例, на экран
} Проверка "if (d[e[j].a] < INF)" нужна, только если グラフ содержит рёбра отрицательного веса: без такой проверки бы происходили релаксации из вершин, до которых пути ещё не нашли, и появлялись бы некорректные расстояния
вида
,
, и т.д.
Улучшенная 実装
Этот アルゴリズム можно несколько ускорить: зачастую ответ находится уже за несколько фаз, а оставшиеся фазы никакой полезной работы не происходит, лишь впустую просматриваются все рёбра. Поэтому будем хранить флаг того, изменилось что-то на текущей фазе или нет, и если на какой-то фазе ничего не произошло, то アルゴリズム можно останавливать. (Эта оптимизация не улучшает асимптотику, т.е. на некоторых グラフах по-прежнему будут нужны
все
фаза, но значительно ускоряет поведение アルゴリズムа "в среднем", т.е. на случайных グラフах.) С такой оптимизацией становится вообще ненужным ограничивать вручную number фаз アルゴリズムа numberм
— он
сам остановится через нужное number фаз.
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;}
// вывод d, на例, на экран
}
Восстановление путей
Рассмотрим теперь, как можно модифицировать Bellman-Ford algorithm так, чтобы он не только находил длины кратчайших путей, но и позволял восстанавливать сами кратчайшие пути.
Для этого заведём ещё один 配列
, в котором для каждой вершины будем хранить её "предка", т. е. предпоследнюю вершину в кратчайшем пути, ведущем в неё. В самом деле, 最短経路 до какой-то вершины
является кратчайшим путём до какой-то вершины
, к которому приписали в конец вершину
. Заметим, что Bellman-Ford algorithm работает по такой же логике: он, предполагая, что кратчайшее расстояние до одной вершины уже посчитано, пытается улучшить кратчайшее расстояние до другой вершины. Следовательно,
в момент улучшения нам надо просто запоминать в
, из какой вершины это улучшение произошло. Приведём реализацию Форда-Беллмана с восстановлением пути до какой-то заданной вершины :
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
for (;;) {bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;}
if (d[t] == INF)cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
vector<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)cout << path[i] << ' ';
} }
Здесь мы сначала проходимся по предкам, начиная с вершины
, и сохраняем весь пройденный путь в списке
.
В этом списке получается 最短経路 от
до
, но в обратном порядке, поэтому мы вызываем
от него
и затем выводим.
証明 アルゴリズムа
Во-первых, сразу заметим, что для недостижимых из
вершин アルゴリズム отработает корректно: для них метка
так
и останется равной бесконечности (т.к. Bellman-Ford algorithm найдёт какие-то пути до всех достижимых из
вершин, а релаксация во всех остальных vertexх не произойдёт ни разу).
Докажем теперь следующее утверждение: после выполнения
фаз Bellman-Ford algorithm корректно
находит все кратчайшие пути, длина которых (по числу рёбер) не превосходит .
Иными словами, для любой вершины
обозначим через
number рёбер в кратчайшем пути до неё (если таких
путей несколько, можно взять любой). Тогда это утверждение говорит о том, что после
фаз этот 最短経路
будет найден гарантированно.
証明. Рассмотрим произвольную вершину
, до которой существует путь из стартовой вершины
,
и рассмотрим 最短経路 до неё:
. Перед первой фазой 最短経路
до вершины
найден корректно. Во время первой фазы edge
было просмотрено アルゴリズムом
Форда-Беллмана, следовательно, расстояние до вершины
было корректно посчитано после первой фазы.
Повторяя эти утверждения
раз, получаем, что после
-й фазы расстояние до вершины
посчитано
корректно, что и требовалось доказать. Последнее, что надо заметить — это то, что любой 最短経路 не может иметь более ребра.
Следовательно, アルゴリズムу достаточно произвести только
фазу. После этого ни одна релаксация
гарантированно не может завершиться улучшением расстояния до какой-то вершины.
Случай отрицательного цикла
Выше мы везде считали, что отрицательного цикла в グラフе нет (уточним, нас интересует отрицательный
цикл, достижимый из стартовой вершины
, а недостижимые циклы ничего в вышеописанном アルゴリズムе не меняют). При его наличии возникают дополнительные сложности, связанные с тем, что расстояния до всех вершин на этом цикле, а также расстояния до достижимых из этого цикла вершин не определены — они должны быть равны минус бесконечности. Нетрудно понять, что Bellman-Ford algorithm сможет бесконечно делать релаксации среди всех вершин этого цикла и вершин, достижимых из него. Следовательно, если не ограничивать number фаз numberм
,
то アルゴリズム будет работать бесконечно, постоянно улучшая расстояния до этих вершин. Отсюда мы получаем критерий наличия достижимого цикла отрицательного веса: если
после
фазы мы выполним ещё одну фазу, и на ней произойдёт хотя бы одна релаксация, то グラフ содержит
цикл отрицательного веса, достижимый из
; в противном случае, такого цикла нет. Более того, если такой цикл обнаружился, то Bellman-Ford algorithm можно модифицировать таким образом, чтобы он выводил сам этот цикл в виде последовательности вершин, 入力ящих в него. Для этого достаточно запомнить
номер вершины
, в которой произошла релаксация на
-ой фазе. Эта vertex будет либо лежать на
цикле отрицательного веса, либо она достижима из него. Чтобы получить вершину, которая гарантированно лежит
на цикле, достаточно, на例,
раз пройти по предкам, начиная от вершины
. Получив номер
вершины,
лежащей на цикле, надо пройтись от этой вершины по предкам, пока мы не вернёмся в эту же вершину
(а
это обязательно произойдёт, потому что релаксации в цикле отрицательного веса происходят по кругу). 実装:
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
int x;for (int i=0; i<n; ++i) {x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
} }
if (x == -1)cout << "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;for (int i=0; i<n; ++i)y = p[y];
vector<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;}
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)cout << path[i] << ' ';
} }
Поскольку при наличии отрицательного цикла за
итераций アルゴリズムа расстояния могли уйти далеко в минус (по
всей видимости, до отрицательных чисел порядка
), в коде приняты дополнительные меры против
такого целочисленного переполнения:
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
В приведённой выше реализации ищется отрицательный цикл, достижимый из некоторой стартовой вершины
;
однако アルゴリズム можно модифицировать, чтобы он искал просто любой отрицательный цикл в グラフе.
Для этого надо положить все расстояния
равными нулю, а не бесконечности — так, как будто бы мы
ищем 最短経路 изо всех вершин одновременно; на корректность обнаружения отрицательного цикла это не повлияет. Дополнительно на тему этой задачи — см. отдельную статью "Поиск отрицательного цикла в グラフе".
Задачи в online judges
Список задач, которые можно решить с помощью アルゴリズムа Форда-Беллмана:
● E-OLIMP #1453 "Форд-Беллман" [Complexity: низкая]
● UVA #423 "MPI Maelstrom" [Complexity: низкая]
● UVA #534 "Frogger" [Complexity: средняя]
● UVA #10099 "The Tourist Guide" [Complexity: средняя]
● UVA #515 "King" [Complexity: средняя]
См. также список задач в статье "Поиск отрицательного цикла".
C# 解法
自動ドラフト、提出前に確認using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
public static class AlgorithmDraft
{
// Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
struct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
List<int> p (n, -1);
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
Console.WriteLine( "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
List<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
Console.WriteLine( "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
Console.WriteLine( path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
List<int> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
Console.WriteLine( "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
List<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
Console.WriteLine( "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
Console.WriteLine( path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
}C++ 解法
照合済み/オリジナルstruct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
vector<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
cout << path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
cout << "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
vector<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
cout << path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);Java 解法
自動ドラフト、提出前に確認import java.util.*;
import java.math.*;
public class AlgorithmDraft {
// Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
struct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
boolean any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
ArrayList<Integer> p (n, -1);
for (;;) {
boolean any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
System.out.println( "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
ArrayList<Integer> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
System.out.println( "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
System.out.println( path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
ArrayList<Integer> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
System.out.println( "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
ArrayList<Integer> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
System.out.println( "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
System.out.println( path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
}Материал разбит как アルゴリズムическая 問題: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать アルゴリズム на выбранном языке.
Vacancies for this task
有効な求人 with overlapping task tags are 表示.