E034. Bellman-Ford algorithm
Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 107.
Пусть дан ориентированный взвешенный graphe
с
vertexми и
рёбрами, и указана некоторая vertex
. it is required find длины кратчайших путей от вершины
до всех остальных вершин. В отличие от Algorithmeа Дейкстры, этот Algorithme применим также и к grapheам, содержащим рёбра отрицательного веса. Впрочем, если graphe содержит отрицательный цикл, то, понятно, кратчайшего пути до некоторых вершин может не существовать (по причине того, что вес кратчайшего пути должен быть равен минус бесконечности); впрочем, этот Algorithme можно модифицировать, чтобы он сигнализировал о наличии цикла отрицательного веса, или даже выводил сам этот цикл. Algorithme носит имя двух американских учёных: Ричарда Беллмана (Richard Bellman) и Лестера Форда (Lester Ford). Форд фактически изобрёл этот Algorithme в 1956 г. при изучении другой математической задачи, подProblème которой свелась к поиску кратчайшего пути в grapheе, и Форд дал набросок решающего эту задачу Algorithmeа. Беллман в 1958 г. опубликовал статью, посвящённую конкретно задаче нахождения кратчайшего пути, и в этой статье он чётко сформулировал Algorithme в том виде, в котором он известен нам сейчас.
Описание Algorithmeа
Мы считаем, что graphe не содержит цикла отрицательного веса. Случай наличия отрицательного цикла будет рассмотрен ниже в отдельном разделе.
Заведём tableau расстояний
, который после отработки Algorithmeа будет содержать ответ на задачу. В начале работы мы заполняем его следующим образом:
, а все остальные elementы
равны
бесконечности
. Сам Bellman-Ford algorithm представляет из себя несколько фаз. На каждой фазе просматриваются все рёбра grapheа, и Algorithme пытается произвести релаксацию (relax, ослабление) вдоль каждого ребра
стоимости
. Релаксация вдоль ребра — это попытка улучшить значение
значением
. Фактически это значит, что
мы пытаемся улучшить ответ для вершины
, пользуясь edgeм
и текущим ответом для вершины
.
Утверждается, что достаточно
фазы Algorithmeа, чтобы корректно посчитать длины всех кратчайших путей в grapheе (повторимся, мы считаем, что циклы отрицательного веса отсутствуют). Для недостижимых вершин расстояние
останется равным бесконечности
.
Implémentation
Для Algorithmeа Форда-Беллмана, в отличие от многих других grapheовых Algorithmeов, более удобно представлять graphe
в виде одного списка всех рёбер (а не
списков рёбер — рёбер из каждой вершины). В приведённой
реализации заводится структура данных
для ребра. Entréeными данными для Algorithmeа являются числа
, список
рёбер, и номер стартовой вершины
. Все номера вершин нумеруются с
по
.
Простейшая Implémentation
Константа
обозначает number "бесконечность" — её надо подобрать таким образом, чтобы она заведомо превосходила все возможные длины путей.
struct edge {
int a, b, cost;};
int n, m, v;vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, наExemple, на экран
} Проверка "if (d[e[j].a] < INF)" нужна, только если graphe содержит рёбра отрицательного веса: без такой проверки бы происходили релаксации из вершин, до которых пути ещё не нашли, и появлялись бы некорректные расстояния
вида
,
, и т.д.
Улучшенная Implémentation
Этот Algorithme можно несколько ускорить: зачастую ответ находится уже за несколько фаз, а оставшиеся фазы никакой полезной работы не происходит, лишь впустую просматриваются все рёбра. Поэтому будем хранить флаг того, изменилось что-то на текущей фазе или нет, и если на какой-то фазе ничего не произошло, то Algorithme можно останавливать. (Эта оптимизация не улучшает асимптотику, т.е. на некоторых grapheах по-прежнему будут нужны
все
фаза, но значительно ускоряет поведение Algorithmeа "в среднем", т.е. на случайных grapheах.) С такой оптимизацией становится вообще ненужным ограничивать вручную number фаз Algorithmeа numberм
— он
сам остановится через нужное number фаз.
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;}
// вывод d, наExemple, на экран
}
Восстановление путей
Рассмотрим теперь, как можно модифицировать Bellman-Ford algorithm так, чтобы он не только находил длины кратчайших путей, но и позволял восстанавливать сами кратчайшие пути.
Для этого заведём ещё один tableau
, в котором для каждой вершины будем хранить её "предка", т. е. предпоследнюю вершину в кратчайшем пути, ведущем в неё. В самом деле, plus court chemin до какой-то вершины
является кратчайшим путём до какой-то вершины
, к которому приписали в конец вершину
. Заметим, что Bellman-Ford algorithm работает по такой же логике: он, предполагая, что кратчайшее расстояние до одной вершины уже посчитано, пытается улучшить кратчайшее расстояние до другой вершины. Следовательно,
в момент улучшения нам надо просто запоминать в
, из какой вершины это улучшение произошло. Приведём реализацию Форда-Беллмана с восстановлением пути до какой-то заданной вершины :
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
for (;;) {bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;}
if (d[t] == INF)cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
vector<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)cout << path[i] << ' ';
} }
Здесь мы сначала проходимся по предкам, начиная с вершины
, и сохраняем весь пройденный путь в списке
.
В этом списке получается plus court chemin от
до
, но в обратном порядке, поэтому мы вызываем
от него
и затем выводим.
Preuve Algorithmeа
Во-первых, сразу заметим, что для недостижимых из
вершин Algorithme отработает корректно: для них метка
так
и останется равной бесконечности (т.к. Bellman-Ford algorithm найдёт какие-то пути до всех достижимых из
вершин, а релаксация во всех остальных vertexх не произойдёт ни разу).
Докажем теперь следующее утверждение: после выполнения
фаз Bellman-Ford algorithm корректно
находит все кратчайшие пути, длина которых (по числу рёбер) не превосходит .
Иными словами, для любой вершины
обозначим через
number рёбер в кратчайшем пути до неё (если таких
путей несколько, можно взять любой). Тогда это утверждение говорит о том, что после
фаз этот plus court chemin
будет найден гарантированно.
Preuve. Рассмотрим произвольную вершину
, до которой существует путь из стартовой вершины
,
и рассмотрим plus court chemin до неё:
. Перед первой фазой plus court chemin
до вершины
найден корректно. Во время первой фазы edge
было просмотрено Algorithmeом
Форда-Беллмана, следовательно, расстояние до вершины
было корректно посчитано после первой фазы.
Повторяя эти утверждения
раз, получаем, что после
-й фазы расстояние до вершины
посчитано
корректно, что и требовалось доказать. Последнее, что надо заметить — это то, что любой plus court chemin не может иметь более ребра.
Следовательно, Algorithmeу достаточно произвести только
фазу. После этого ни одна релаксация
гарантированно не может завершиться улучшением расстояния до какой-то вершины.
Случай отрицательного цикла
Выше мы везде считали, что отрицательного цикла в grapheе нет (уточним, нас интересует отрицательный
цикл, достижимый из стартовой вершины
, а недостижимые циклы ничего в вышеописанном Algorithmeе не меняют). При его наличии возникают дополнительные сложности, связанные с тем, что расстояния до всех вершин на этом цикле, а также расстояния до достижимых из этого цикла вершин не определены — они должны быть равны минус бесконечности. Нетрудно понять, что Bellman-Ford algorithm сможет бесконечно делать релаксации среди всех вершин этого цикла и вершин, достижимых из него. Следовательно, если не ограничивать number фаз numberм
,
то Algorithme будет работать бесконечно, постоянно улучшая расстояния до этих вершин. Отсюда мы получаем критерий наличия достижимого цикла отрицательного веса: если
после
фазы мы выполним ещё одну фазу, и на ней произойдёт хотя бы одна релаксация, то graphe содержит
цикл отрицательного веса, достижимый из
; в противном случае, такого цикла нет. Более того, если такой цикл обнаружился, то Bellman-Ford algorithm можно модифицировать таким образом, чтобы он выводил сам этот цикл в виде последовательности вершин, Entréeящих в него. Для этого достаточно запомнить
номер вершины
, в которой произошла релаксация на
-ой фазе. Эта vertex будет либо лежать на
цикле отрицательного веса, либо она достижима из него. Чтобы получить вершину, которая гарантированно лежит
на цикле, достаточно, наExemple,
раз пройти по предкам, начиная от вершины
. Получив номер
вершины,
лежащей на цикле, надо пройтись от этой вершины по предкам, пока мы не вернёмся в эту же вершину
(а
это обязательно произойдёт, потому что релаксации в цикле отрицательного веса происходят по кругу). Implémentation:
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
int x;for (int i=0; i<n; ++i) {x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)if (d[e[j].a] < INF)if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
} }
if (x == -1)cout << "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;for (int i=0; i<n; ++i)y = p[y];
vector<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;}
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)cout << path[i] << ' ';
} }
Поскольку при наличии отрицательного цикла за
итераций Algorithmeа расстояния могли уйти далеко в минус (по
всей видимости, до отрицательных чисел порядка
), в коде приняты дополнительные меры против
такого целочисленного переполнения:
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
В приведённой выше реализации ищется отрицательный цикл, достижимый из некоторой стартовой вершины
;
однако Algorithme можно модифицировать, чтобы он искал просто любой отрицательный цикл в grapheе.
Для этого надо положить все расстояния
равными нулю, а не бесконечности — так, как будто бы мы
ищем plus court chemin изо всех вершин одновременно; на корректность обнаружения отрицательного цикла это не повлияет. Дополнительно на тему этой задачи — см. отдельную статью "Поиск отрицательного цикла в grapheе".
Задачи в online judges
Список задач, которые можно решить с помощью Algorithmeа Форда-Беллмана:
● E-OLIMP #1453 "Форд-Беллман" [Complexity: низкая]
● UVA #423 "MPI Maelstrom" [Complexity: низкая]
● UVA #534 "Frogger" [Complexity: средняя]
● UVA #10099 "The Tourist Guide" [Complexity: средняя]
● UVA #515 "King" [Complexity: средняя]
См. также список задач в статье "Поиск отрицательного цикла".
C# solution
brouillon automatique, à relire avant soumissionusing System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
public static class AlgorithmDraft
{
// Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
struct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
List<int> p (n, -1);
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
Console.WriteLine( "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
List<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
Console.WriteLine( "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
Console.WriteLine( path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
List<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
List<int> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
Console.WriteLine( "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
List<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
Console.WriteLine( "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
Console.WriteLine( path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
}C++ solution
correspondant/originalstruct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
for (;;) {
bool any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
vector<int> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
cout << path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
vector<int> d (n, INF);
d[v] = 0;
vector<int> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
cout << "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
vector<int> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
cout << "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
cout << path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);Java solution
brouillon automatique, à relire avant soumissionimport java.util.*;
import java.math.*;
public class AlgorithmDraft {
// Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
struct edge {
int a, b, cost;
};
int n, m, v;
vector<edge> e;
const int INF = 1000000000;
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (int i=0; i<n-1; ++i)
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
d[e[j].b] = min (d[e[j].b], d[e[j].a] + e
[j].cost);
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
for (;;) {
boolean any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
any = true;
}
if (!any) break;
}
// вывод d, например, на экран
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
ArrayList<Integer> p (n, -1);
for (;;) {
boolean any = false;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
p[e[j].b] = e[j].a;
any = true;
}
if (!any) break;
}
if (d[t] == INF)
System.out.println( "No path from " << v << " to " << t << ".";
else {
ArrayList<Integer> path;
for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
path.push_back (cur);
reverse (path.begin(), path.end());
System.out.println( "Path from " << v << " to " << t << ": ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
System.out.println( path[i] << ' ';
}
}
void solve() {
ArrayList<Integer> d (n, INF);
d[v] = 0;
ArrayList<Integer> p (n, -1);
int x;
for (int i=0; i<n; ++i) {
x = -1;
for (int j=0; j<m; ++j)
if (d[e[j].a] < INF)
if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e
[j].cost);
p[e[j].b] = e[j].a;
x = e[j].b;
}
}
if (x == -1)
System.out.println( "No negative cycle from " << v;
else {
int y = x;
for (int i=0; i<n; ++i)
y = p[y];
ArrayList<Integer> path;
for (int cur=y; ; cur=p[cur]) {
path.push_back (cur);
if (cur == y && path.size() > 1) break;
}
reverse (path.begin(), path.end());
System.out.println( "Negative cycle: ";
for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
System.out.println( path[i] << ' ';
}
}
d[e[j].b] = max (-INF, d[e[j].a] + e[j].cost);
}Материал разбит как Algorithmeическая Problème: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать Algorithme на выбранном языке.
Vacancies for this task
offres actives with overlapping task tags are affichés.