E019. Дискретное извлечение корня

e-maxx algorithm original: C/C++ #algorithm #emaxx #math #number-theory

Task text is translated from Russian for the selected interface language. Code is left unchanged.

Static

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 51.

Task дискретного извлечения корня (по аналогии с задачей дискретного логарифма) звучит следующим образом.

По данным

(

— простое),

,

it is required find все

, удовлетворяющие условию:

Algorithm решения

Решать задачу будем сведением её к задаче дискретного логарифма.

Для этого применим понятие Первообразного корня по модулю

. Пусть

— первообразный корень по модулю

(т.к. — простое, то он существует). find его мы можем, как описано в соответствующей статье,

за

плюс время факторизации числа

Отбросим сразу случай, когда

— в этом случае сразу находим ответ

Поскольку в данном случае (

— простое) любое number от

до

представимо в виде степени

первообразного корня, то задачу дискретного корня мы можем представить в виде:

где

Тривиальным преобразованием получаем:

Здесь искомой величиной является

, таким образом, мы пришли к задаче дискретного логарифмирования в чистом виде. Эту задачу можно решить Algorithmом baby-step-giant-step Шэнкса за

, т.е. find одно из

решений

этого уравнения (или обнаружить, что это уравнение решений не имеет).

Пусть мы нашли некоторое Solution

этого уравнения, тогда одним из решений задачи дискретного корня

будет

Нахождение всех решений, зная одно из них

Чтобы полностью решить поставленную задачу, надо научиться по одному найденному находить все остальные решения. Для этого вспомним такой факт, что первообразный корень всегда имеет порядок

(см. статью о

первообразном корне), т.е. наименьшей степенью

, дающей единицу, является

. Поэтому добавление в

показатель степени слагаемого с

ничего не меняет: Отсюда все решения имеют вид:

где

выбирается таким образом, чтобы дробь

была целой. Чтобы эта дробь была целой, числитель должен

быть кратен наименьшему общему кратному

и

, откуда (вспоминая, что наименьшее общее кратное двух

чисел

), получаем: Это окончательная удобная формула, которая даёт общий вид всех решений задачи дискретного корня.

Implementation

Приведём полную реализацию, включающую нахождение первообразного корня, дискретное логарифмирование и нахождение и вывод всех решений.

int gcd (int a, int b) {

return a ? gcd (b%a, a) : b;

}

int powmod (int a, int b, int p) {

int res = 1;

while (b)

if (b & 1)

res = int (res * 1ll * a % p), --b;

else

a = int (a * 1ll * a % p), b >>= 1;

return res;

}

int generator (int p) {

vector<int> fact;

int phi = p-1,  n = phi;

for (int i=2; i*i<=n; ++i)

if (n % i == 0) {

fact.push_back (i);

while (n % i == 0)

n /= i;

}

if (n > 1)

fact.push_back (n);

for (int res=2; res<=p; ++res) {

bool ok = true;

for (size_t i=0; i<fact.size() && ok; ++i)

ok &= powmod (res, phi / fact[i], p) != 1;

if (ok)  return res;

}

return -1;

}

int main() {

int n, k, a;

cin >> n >> k >> a;

if (a == 0) {

puts ("1\n0");

return 0;

}

int g = generator (n);

int sq = (int) sqrt (n + .0) + 1;

vector < pair<int,int> > dec (sq);

for (int i=1; i<=sq; ++i)

dec[i-1] = make_pair (powmod (g, int (i * sq * 1ll * k % (n

- 1)), n), i);

sort (dec.begin(), dec.end());

int any_ans = -1;

for (int i=0; i<sq; ++i) {

int my = int (powmod (g, int (i * 1ll * k % (n - 1)), n) *

1ll * a % n);

vector < pair<int,int> >::iterator it =

lower_bound (dec.begin(), dec.end(), make_pair (my, 0));

if (it != dec.end() && it->first == my) {

any_ans = it->second * sq - i;

break;

} }

if (any_ans == -1) {

puts ("0");

return 0;

}

int delta = (n-1) / gcd (k, n-1);

vector<int> ans;

for (int cur=any_ans%delta; cur<n-1; cur+=delta)

ans.push_back (powmod (g, cur, n));

sort (ans.begin(), ans.end());

printf ("%d\n", ans.size());

for (size_t i=0; i<ans.size(); ++i)

printf ("%d ", ans[i]);

}

C# solution

auto-draft, review before submit

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

public static class AlgorithmDraft
{
    // Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    int gcd (int a, int b) {
            return a ? gcd (b%a, a) : b;
    }
    int powmod (int a, int b, int p) {
            int res = 1;
            while (b)
                    if (b & 1)
                            res = int (res * 1ll * a % p),  --b;
                    else
                            a = int (a * 1ll * a % p),  b >>= 1;
            return res;
    }
    int generator (int p) {
            List<int> fact;
            int phi = p-1,  n = phi;
            for (int i=2; i*i<=n; ++i)
                    if (n % i == 0) {
                            fact.push_back (i);
                            while (n % i == 0)
                                    n /= i;
                    }
            if (n > 1)
                    fact.push_back (n);
            for (int res=2; res<=p; ++res) {
                    bool ok = true;
                    for (size_t i=0; i<fact.size() && ok; ++i)
                            ok &= powmod (res, phi / fact[i], p) != 1;
                    if (ok)  return res;
            }
            return -1;
    }
    int main() {
            int n, k, a;
            cin >> n >> k >> a;
            if (a == 0) {
                    puts ("1\n0");
                    return 0;
            }
            int g = generator (n);
            int sq = (int) sqrt (n + .0) + 1;
            vector < pair<int,int> > dec (sq);
            for (int i=1; i<=sq; ++i)
                    dec[i-1] = make_pair (powmod (g, int (i * sq * 1ll * k % (n
    - 1)), n), i);
            sort (dec.begin(), dec.end());
            int any_ans = -1;
            for (int i=0; i<sq; ++i) {
                    int my = int (powmod (g, int (i * 1ll * k % (n - 1)), n) *
    1ll * a % n);
                    vector < pair<int,int> >::iterator it =
                            lower_bound (dec.begin(), dec.end(), make_pair (my, 0));
                    if (it != dec.end() && it->first == my) {
                            any_ans = it->second * sq - i;
                            break;
                    }
            }
            if (any_ans == -1) {
                    puts ("0");
                    return 0;
            }
            int delta = (n-1) / gcd (k, n-1);
            List<int> ans;
            for (int cur=any_ans%delta; cur<n-1; cur+=delta)
                    ans.push_back (powmod (g, cur, n));
            sort (ans.begin(), ans.end());
            Console.Write ("%d\n", ans.size());
            for (size_t i=0; i<ans.size(); ++i)
                    Console.Write ("%d ", ans[i]);
    }
}

C++ solution

matched/original

int gcd (int a, int b) {
        return a ? gcd (b%a, a) : b;
}
int powmod (int a, int b, int p) {
        int res = 1;
        while (b)
                if (b & 1)
                        res = int (res * 1ll * a % p),  --b;
                else
                        a = int (a * 1ll * a % p),  b >>= 1;
        return res;
}
int generator (int p) {
        vector<int> fact;
        int phi = p-1,  n = phi;
        for (int i=2; i*i<=n; ++i)
                if (n % i == 0) {
                        fact.push_back (i);
                        while (n % i == 0)
                                n /= i;
                }
        if (n > 1)
                fact.push_back (n);
        for (int res=2; res<=p; ++res) {
                bool ok = true;
                for (size_t i=0; i<fact.size() && ok; ++i)
                        ok &= powmod (res, phi / fact[i], p) != 1;
                if (ok)  return res;
        }
        return -1;
}
int main() {
        int n, k, a;
        cin >> n >> k >> a;
        if (a == 0) {
                puts ("1\n0");
                return 0;
        }
        int g = generator (n);
        int sq = (int) sqrt (n + .0) + 1;
        vector < pair<int,int> > dec (sq);
        for (int i=1; i<=sq; ++i)
                dec[i-1] = make_pair (powmod (g, int (i * sq * 1ll * k % (n
- 1)), n), i);
        sort (dec.begin(), dec.end());
        int any_ans = -1;
        for (int i=0; i<sq; ++i) {
                int my = int (powmod (g, int (i * 1ll * k % (n - 1)), n) *
1ll * a % n);
                vector < pair<int,int> >::iterator it =
                        lower_bound (dec.begin(), dec.end(), make_pair (my, 0));
                if (it != dec.end() && it->first == my) {
                        any_ans = it->second * sq - i;
                        break;
                }
        }
        if (any_ans == -1) {
                puts ("0");
                return 0;
        }
        int delta = (n-1) / gcd (k, n-1);
        vector<int> ans;
        for (int cur=any_ans%delta; cur<n-1; cur+=delta)
                ans.push_back (powmod (g, cur, n));
        sort (ans.begin(), ans.end());
        printf ("%d\n", ans.size());
        for (size_t i=0; i<ans.size(); ++i)
                printf ("%d ", ans[i]);
}

Java solution

auto-draft, review before submit

import java.util.*;
import java.math.*;

public class AlgorithmDraft {
    // Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    int gcd (int a, int b) {
            return a ? gcd (b%a, a) : b;
    }
    int powmod (int a, int b, int p) {
            int res = 1;
            while (b)
                    if (b & 1)
                            res = int (res * 1ll * a % p),  --b;
                    else
                            a = int (a * 1ll * a % p),  b >>= 1;
            return res;
    }
    int generator (int p) {
            ArrayList<Integer> fact;
            int phi = p-1,  n = phi;
            for (int i=2; i*i<=n; ++i)
                    if (n % i == 0) {
                            fact.push_back (i);
                            while (n % i == 0)
                                    n /= i;
                    }
            if (n > 1)
                    fact.push_back (n);
            for (int res=2; res<=p; ++res) {
                    boolean ok = true;
                    for (size_t i=0; i<fact.size() && ok; ++i)
                            ok &= powmod (res, phi / fact[i], p) != 1;
                    if (ok)  return res;
            }
            return -1;
    }
    int main() {
            int n, k, a;
            cin >> n >> k >> a;
            if (a == 0) {
                    puts ("1\n0");
                    return 0;
            }
            int g = generator (n);
            int sq = (int) sqrt (n + .0) + 1;
            vector < pair<int,int> > dec (sq);
            for (int i=1; i<=sq; ++i)
                    dec[i-1] = make_pair (powmod (g, int (i * sq * 1ll * k % (n
    - 1)), n), i);
            sort (dec.begin(), dec.end());
            int any_ans = -1;
            for (int i=0; i<sq; ++i) {
                    int my = int (powmod (g, int (i * 1ll * k % (n - 1)), n) *
    1ll * a % n);
                    vector < pair<int,int> >::iterator it =
                            lower_bound (dec.begin(), dec.end(), make_pair (my, 0));
                    if (it != dec.end() && it->first == my) {
                            any_ans = it->second * sq - i;
                            break;
                    }
            }
            if (any_ans == -1) {
                    puts ("0");
                    return 0;
            }
            int delta = (n-1) / gcd (k, n-1);
            ArrayList<Integer> ans;
            for (int cur=any_ans%delta; cur<n-1; cur+=delta)
                    ans.push_back (powmod (g, cur, n));
            sort (ans.begin(), ans.end());
            System.out.print ("%d\n", ans.size());
            for (size_t i=0; i<ans.size(); ++i)
                    System.out.print ("%d ", ans[i]);
    }
}

Материал разбит как Algorithmическая Task: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать Algorithm на выбранном языке.

Vacancies for this task

Active vacancies with overlapping task tags are shown.

All vacancies

There are no active vacancies yet.