E019. Дискретное извлечение корня

e-maxx algorithm original: C/C++ #algorithm #emaxx #math #number-theory

Der Aufgabentext wird für die gewählte Sprache aus dem Russischen übersetzt. Code bleibt unverändert.

Static

Источник: e-maxx.ru/algo, страница PDF 51.

Aufgabe дискретного извлечения корня (по аналогии с задачей дискретного логарифма) звучит следующим образом.

По данным

(

— простое),

,

it is required find все

, удовлетворяющие условию:

Algorithmus решения

Решать задачу будем сведением её к задаче дискретного логарифма.

Для этого применим понятие Первообразного корня по модулю

. Пусть

— первообразный корень по модулю

(т.к. — простое, то он существует). find его мы можем, как описано в соответствующей статье,

за

плюс время факторизации числа

Отбросим сразу случай, когда

— в этом случае сразу находим ответ

Поскольку в данном случае (

— простое) любое number от

до

представимо в виде степени

первообразного корня, то задачу дискретного корня мы можем представить в виде:

где

Тривиальным преобразованием получаем:

Здесь искомой величиной является

, таким образом, мы пришли к задаче дискретного логарифмирования в чистом виде. Эту задачу можно решить Algorithmusом baby-step-giant-step Шэнкса за

, т.е. find одно из

решений

этого уравнения (или обнаружить, что это уравнение решений не имеет).

Пусть мы нашли некоторое Lösung

этого уравнения, тогда одним из решений задачи дискретного корня

будет

Нахождение всех решений, зная одно из них

Чтобы полностью решить поставленную задачу, надо научиться по одному найденному находить все остальные решения. Для этого вспомним такой факт, что первообразный корень всегда имеет порядок

(см. статью о

первообразном корне), т.е. наименьшей степенью

, дающей единицу, является

. Поэтому добавление в

показатель степени слагаемого с

ничего не меняет: Отсюда все решения имеют вид:

где

выбирается таким образом, чтобы дробь

была целой. Чтобы эта дробь была целой, числитель должен

быть кратен наименьшему общему кратному

и

, откуда (вспоминая, что наименьшее общее кратное двух

чисел

), получаем: Это окончательная удобная формула, которая даёт общий вид всех решений задачи дискретного корня.

Implementierung

Приведём полную реализацию, включающую нахождение первообразного корня, дискретное логарифмирование и нахождение и вывод всех решений.

int gcd (int a, int b) {

return a ? gcd (b%a, a) : b;

}

int powmod (int a, int b, int p) {

int res = 1;

while (b)

if (b & 1)

res = int (res * 1ll * a % p), --b;

else

a = int (a * 1ll * a % p), b >>= 1;

return res;

}

int generator (int p) {

vector<int> fact;

int phi = p-1,  n = phi;

for (int i=2; i*i<=n; ++i)

if (n % i == 0) {

fact.push_back (i);

while (n % i == 0)

n /= i;

}

if (n > 1)

fact.push_back (n);

for (int res=2; res<=p; ++res) {

bool ok = true;

for (size_t i=0; i<fact.size() && ok; ++i)

ok &= powmod (res, phi / fact[i], p) != 1;

if (ok)  return res;

}

return -1;

}

int main() {

int n, k, a;

cin >> n >> k >> a;

if (a == 0) {

puts ("1\n0");

return 0;

}

int g = generator (n);

int sq = (int) sqrt (n + .0) + 1;

vector < pair<int,int> > dec (sq);

for (int i=1; i<=sq; ++i)

dec[i-1] = make_pair (powmod (g, int (i * sq * 1ll * k % (n

- 1)), n), i);

sort (dec.begin(), dec.end());

int any_ans = -1;

for (int i=0; i<sq; ++i) {

int my = int (powmod (g, int (i * 1ll * k % (n - 1)), n) *

1ll * a % n);

vector < pair<int,int> >::iterator it =

lower_bound (dec.begin(), dec.end(), make_pair (my, 0));

if (it != dec.end() && it->first == my) {

any_ans = it->second * sq - i;

break;

} }

if (any_ans == -1) {

puts ("0");

return 0;

}

int delta = (n-1) / gcd (k, n-1);

vector<int> ans;

for (int cur=any_ans%delta; cur<n-1; cur+=delta)

ans.push_back (powmod (g, cur, n));

sort (ans.begin(), ans.end());

printf ("%d\n", ans.size());

for (size_t i=0; i<ans.size(); ++i)

printf ("%d ", ans[i]);

}

C# Lösung

Auto-Entwurf, vor dem Einreichen prüfen

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

public static class AlgorithmDraft
{
    // Auto-generated C# draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    int gcd (int a, int b) {
            return a ? gcd (b%a, a) : b;
    }
    int powmod (int a, int b, int p) {
            int res = 1;
            while (b)
                    if (b & 1)
                            res = int (res * 1ll * a % p),  --b;
                    else
                            a = int (a * 1ll * a % p),  b >>= 1;
            return res;
    }
    int generator (int p) {
            List<int> fact;
            int phi = p-1,  n = phi;
            for (int i=2; i*i<=n; ++i)
                    if (n % i == 0) {
                            fact.push_back (i);
                            while (n % i == 0)
                                    n /= i;
                    }
            if (n > 1)
                    fact.push_back (n);
            for (int res=2; res<=p; ++res) {
                    bool ok = true;
                    for (size_t i=0; i<fact.size() && ok; ++i)
                            ok &= powmod (res, phi / fact[i], p) != 1;
                    if (ok)  return res;
            }
            return -1;
    }
    int main() {
            int n, k, a;
            cin >> n >> k >> a;
            if (a == 0) {
                    puts ("1\n0");
                    return 0;
            }
            int g = generator (n);
            int sq = (int) sqrt (n + .0) + 1;
            vector < pair<int,int> > dec (sq);
            for (int i=1; i<=sq; ++i)
                    dec[i-1] = make_pair (powmod (g, int (i * sq * 1ll * k % (n
    - 1)), n), i);
            sort (dec.begin(), dec.end());
            int any_ans = -1;
            for (int i=0; i<sq; ++i) {
                    int my = int (powmod (g, int (i * 1ll * k % (n - 1)), n) *
    1ll * a % n);
                    vector < pair<int,int> >::iterator it =
                            lower_bound (dec.begin(), dec.end(), make_pair (my, 0));
                    if (it != dec.end() && it->first == my) {
                            any_ans = it->second * sq - i;
                            break;
                    }
            }
            if (any_ans == -1) {
                    puts ("0");
                    return 0;
            }
            int delta = (n-1) / gcd (k, n-1);
            List<int> ans;
            for (int cur=any_ans%delta; cur<n-1; cur+=delta)
                    ans.push_back (powmod (g, cur, n));
            sort (ans.begin(), ans.end());
            Console.Write ("%d\n", ans.size());
            for (size_t i=0; i<ans.size(); ++i)
                    Console.Write ("%d ", ans[i]);
    }
}

C++ Lösung

zugeordnet/original

int gcd (int a, int b) {
        return a ? gcd (b%a, a) : b;
}
int powmod (int a, int b, int p) {
        int res = 1;
        while (b)
                if (b & 1)
                        res = int (res * 1ll * a % p),  --b;
                else
                        a = int (a * 1ll * a % p),  b >>= 1;
        return res;
}
int generator (int p) {
        vector<int> fact;
        int phi = p-1,  n = phi;
        for (int i=2; i*i<=n; ++i)
                if (n % i == 0) {
                        fact.push_back (i);
                        while (n % i == 0)
                                n /= i;
                }
        if (n > 1)
                fact.push_back (n);
        for (int res=2; res<=p; ++res) {
                bool ok = true;
                for (size_t i=0; i<fact.size() && ok; ++i)
                        ok &= powmod (res, phi / fact[i], p) != 1;
                if (ok)  return res;
        }
        return -1;
}
int main() {
        int n, k, a;
        cin >> n >> k >> a;
        if (a == 0) {
                puts ("1\n0");
                return 0;
        }
        int g = generator (n);
        int sq = (int) sqrt (n + .0) + 1;
        vector < pair<int,int> > dec (sq);
        for (int i=1; i<=sq; ++i)
                dec[i-1] = make_pair (powmod (g, int (i * sq * 1ll * k % (n
- 1)), n), i);
        sort (dec.begin(), dec.end());
        int any_ans = -1;
        for (int i=0; i<sq; ++i) {
                int my = int (powmod (g, int (i * 1ll * k % (n - 1)), n) *
1ll * a % n);
                vector < pair<int,int> >::iterator it =
                        lower_bound (dec.begin(), dec.end(), make_pair (my, 0));
                if (it != dec.end() && it->first == my) {
                        any_ans = it->second * sq - i;
                        break;
                }
        }
        if (any_ans == -1) {
                puts ("0");
                return 0;
        }
        int delta = (n-1) / gcd (k, n-1);
        vector<int> ans;
        for (int cur=any_ans%delta; cur<n-1; cur+=delta)
                ans.push_back (powmod (g, cur, n));
        sort (ans.begin(), ans.end());
        printf ("%d\n", ans.size());
        for (size_t i=0; i<ans.size(); ++i)
                printf ("%d ", ans[i]);
}

Java Lösung

Auto-Entwurf, vor dem Einreichen prüfen

import java.util.*;
import java.math.*;

public class AlgorithmDraft {
    // Auto-generated Java draft from the original e-maxx C/C++ listing. Review before production use.
    int gcd (int a, int b) {
            return a ? gcd (b%a, a) : b;
    }
    int powmod (int a, int b, int p) {
            int res = 1;
            while (b)
                    if (b & 1)
                            res = int (res * 1ll * a % p),  --b;
                    else
                            a = int (a * 1ll * a % p),  b >>= 1;
            return res;
    }
    int generator (int p) {
            ArrayList<Integer> fact;
            int phi = p-1,  n = phi;
            for (int i=2; i*i<=n; ++i)
                    if (n % i == 0) {
                            fact.push_back (i);
                            while (n % i == 0)
                                    n /= i;
                    }
            if (n > 1)
                    fact.push_back (n);
            for (int res=2; res<=p; ++res) {
                    boolean ok = true;
                    for (size_t i=0; i<fact.size() && ok; ++i)
                            ok &= powmod (res, phi / fact[i], p) != 1;
                    if (ok)  return res;
            }
            return -1;
    }
    int main() {
            int n, k, a;
            cin >> n >> k >> a;
            if (a == 0) {
                    puts ("1\n0");
                    return 0;
            }
            int g = generator (n);
            int sq = (int) sqrt (n + .0) + 1;
            vector < pair<int,int> > dec (sq);
            for (int i=1; i<=sq; ++i)
                    dec[i-1] = make_pair (powmod (g, int (i * sq * 1ll * k % (n
    - 1)), n), i);
            sort (dec.begin(), dec.end());
            int any_ans = -1;
            for (int i=0; i<sq; ++i) {
                    int my = int (powmod (g, int (i * 1ll * k % (n - 1)), n) *
    1ll * a % n);
                    vector < pair<int,int> >::iterator it =
                            lower_bound (dec.begin(), dec.end(), make_pair (my, 0));
                    if (it != dec.end() && it->first == my) {
                            any_ans = it->second * sq - i;
                            break;
                    }
            }
            if (any_ans == -1) {
                    puts ("0");
                    return 0;
            }
            int delta = (n-1) / gcd (k, n-1);
            ArrayList<Integer> ans;
            for (int cur=any_ans%delta; cur<n-1; cur+=delta)
                    ans.push_back (powmod (g, cur, n));
            sort (ans.begin(), ans.end());
            System.out.print ("%d\n", ans.size());
            for (size_t i=0; i<ans.size(); ++i)
                    System.out.print ("%d ", ans[i]);
    }
}

Материал разбит как Algorithmusическая Aufgabe: изучить постановку, понять асимптотику и реализовать Algorithmus на выбранном языке.

Stellen zu dieser Aufgabe

aktive Stellen with overlapping task tags are angezeigt.

Alle Stellen

Es gibt noch keine aktiven Stellen.